Considere a base de constituída pelos vectores e . Mostre que existe um e um só produto interno em para o qual a base é ortonormada. Calcule , para um qualquer vector .
Passo 1
O enunciado pede para construir um produto interno em tal que a base com e seja ortonormal, mostra-se que esse produto interno é único e, em seguida, calcula-se a norma para um vetor genérico . Vamos usar a correspondência entre produtos internos e matrizes simétricas definidas positivas.
Passo 2
Qualquer produto interno em pode ser escrito, em coordenadas padrão, como
onde a matriz associada é
com simétrica e definida positiva. Os coeficientes serão determinados pela condição de ortonormalidade.
Passo 3
Impondo , e , temos:
e
Esses três equações determinam de modo único, provando a unicidade do produto interno.