1. Considere a base de R^2 constituída pelos vectores v1=(1,0) e v2=(1,1). Mostre que existe um e um só produto interno em R^2 para o qual a base v1, v2 é ortonormada. Calcule |x|, para um qualquer vector x=(x1, x2) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para construir um produto interno em R^2 tal que a base
vec v1,vec v2 com vec v1=(1,0) e vec v2=(1,1) seja ortonormal, mostra-se que esse produto interno é único e, em seguida, calcula-se a norma
|vec x| para um vetor genérico vec x=(x1,x2). Vamos usar a correspondência entre produtos internos e matrizes simétricas definidas positivas.

Passo 2

Qualquer produto interno em R^2 pode ser escrito, em coordenadas padrão, como
lang<=(x1,x2),(y1,y2)rang<= = a,x1y1 + 2b,x1y2 + c,x2y2,
onde a matriz associada é
G=a & b b & c,
com G simétrica e definida positiva. Os coeficientes a,b,c serão determinados pela condição de ortonormalidade.

Passo 3

Impondo
lang<= vec v1,vec v1rang<==1,
lang<= vec v1,vec v2rang<==0 e
lang<= vec v2,vec v2rang<==1, temos:
  1. vec v1=(1,0)Rightarrowlang<=vec v1,vec v1rang<==a=1
  2. vec v2=(1,1) e lang<=vec v1,vec v2rang<= = acdot1cdot1 + bcdot(1cdot1+0cdot1)=a+b=0
    Rightarrow1+b=0 Rightarrow b=-1
  3. lang<=vec v2,vec v2rang<= = acdot1^2 +2bcdot1cdot1 + ccdot1^2 =1 +2(-1)+c=1
    Rightarrow -1+c=1 Rightarrow c=2
Esses três equações determinam a,b,c de modo único, provando a unicidade do produto interno.

Passo 4

Logo a matriz do produto interno é
e, para e ,

Passo 5

A norma é dada por
|vec x| = raizlang<=vec x,vec xrang<= = raizx1^2 - 2,x1x2 + 2,x2^2

Resposta

|,(x1,x2),| = raizx1^2 - 2,x1x2 + 2,x2^2

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