U=L(1,1,1,1),(1,0,1,0)
a) Calcule uma base ortonormada para U;

Passo 1

O subespaço UsubsetR^4 é gerado pelos vetores
v1=(1,1,1,1), v2=(1,0,1,0)
Queremos uma base ortonormal de U usando o processo de Gram–Schmidt. Vamos usar o produto interno usual em R^4:
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4,
e a norma |x|=raizlang<= x,xrang<=.

Passo 2

Normalizamos v1 para obter o primeiro vetor ortonormal e1.
Calculamos a norma de v1:
|v1| = raiz1^2+1^2+1^2+1^2 = 2
Logo,
e1 = v1|v1| = 12(1,1,1,1) = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r)

Passo 3

Projetamos v2 sobre e1 e subtraímos para obter um vetor ortogonal a e1.
Primeiro o coeficiente de projeção:
lang<= v2,e1rang<= = 1cdottfrac12 + 0cdottfrac12 + 1cdottfrac12 + 0cdottfrac12 = 1
A projeção é
proje1(v2) = lang<= v2,e1rang<=,e1 = 1cdotl(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r) = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r)
Então definimos
u2 = v2 - proje1(v2) = l(1,0,1,0r) - l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r) = l(tfrac12,-tfrac12,tfrac12,-tfrac12r)

Passo 4

Agora normalizamos u2 para obter o segundo vetor ortonormal e2.
Calculamos
|u2| = raizl(tfrac12r)^2 + l(-tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 + l(-tfrac12r)^2 = raiztfrac14+tfrac24+tfrac14?
Na verdade somamos quatro vezes tfrac14, logo
|u2| = raiz4cdottfrac14 = 1
Assim
e2 = u2 = l(tfrac12,-tfrac12,tfrac12,-tfrac12r)

Resposta

Uma base ortonormal de U é
l,(e1,e2)r = l, l(tfrac12,tfrac12,tfrac12,tfrac12r),; l(tfrac12,-tfrac12,tfrac12,-tfrac12r) r

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