p1(t)=1-t^2, p2(t)=12 t+12 t^2 e p3(t)=-12 t+12 t^2
constituem uma base ortonormada de P2. Calcule as coordenadades do polinómio p(t)=1 nesta base.

Passo 1

O enunciado dá três polinómios
p1(t)=1-t^2, p2(t)=tfrac12t+tfrac12t^2, p3(t)=-tfrac12t+tfrac12t^2
que formam uma base ortonormal de P2 (com respeito a um produto interno a definir) e pede as coordenadas de p(t)=1 nessa base. Vamos usar o facto de, numa base ortonormal pi, as coordenadas de p serem
ai=lang<= p,pirang<=

Passo 2

Identificamos o produto interno impl’icito como
lang<= f,grang<= = f(-1),g(-1);+;f(0),g(0);+;f(1),g(1)
Com este produto interno verifica-se facilmente que
lang<= pi,pjrang<==de<aij,
ou seja, os pi s~ao ortonormais, pois cada um vale 1 num s’o dos pontos -1,0,1 e 0 nos outros.

Passo 3

Numa base ortonormal, as coordenadas de p(t)=1 vêm de
ai=lang<= p,pirang<= (i=1,2,3)

Passo 4

Como p(t)=1 tem valor 1 em t=-1,0,1, temos
ai = p(-1),pi(-1) + p(0),pi(0) + p(1),pi(1) = pi(-1) + pi(0) + pi(1)
Só falta calcular cada soma pi(-1)+pi(0)+pi(1).

Passo 5

Avalia-mos cada pi nos pontos:
  • p1(-1)=0,;p1(0)=1,;p1(1)=0 Rightarrow a1=0+1+0=1.
  • p2(-1)=0,;p2(0)=0,;p2(1)=1 Rightarrow a2=0+0+1=1.
  • p3(-1)=1,;p3(0)=0,;p3(1)=0 Rightarrow a3=1+0+0=1.

Resposta

As coordenadas de p(t)=1 na base p1,p2,p3 são
(1,,1,,1)

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