lang<= p(t), q(t)rang<==p(0) q(0)+p^prime(0) q^prime(0)+p^prime(1) q^prime(1)
a) Calcule |p(t)| para um qualquer polinómio p(t) in P2;

Passo 1

O enunciado define um produto interno em P2 por
lang<= p,qrang<= = p(0),q(0) + p'(0),q'(0) + p'(1),q'(1)
e pede a norma
|p| = raizlang<= p,prang<=
para um polinómio qualquer p(t)inP2. Vamos precisar de escrever
p(t)=a,t^2+b,t+c e calcular p(0), p'(0) e p'(1).

Passo 2

Escrevendo o polinómio genérico
p(t)=a,t^2 + b,t + c,
temos imediatamente
p(0)=c
Em seguida, a derivada é
p'(t) = 2a,t + b,
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p'(0)=b e p'(1)=2a + b

Passo 3

Substituímos esses valores na definição do produto interno com q=p:
lang<= p,prang<= = p(0)^2 + p'(0)^2 + p'(1)^2 = c^2 + b^2 + (2a+b)^2

Passo 4

A norma de p é a raiz quadrada de lang<= p,prang<=, isto é
|p| = raizlang<= p,prang<= = raizc^2 + b^2 + (2a+b)^2

Resposta

|p| = raizc^2 + b^2 + (2a + b)^2,
onde p(t)=a,t^2+b,t+c.

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