Calcule:
\begin{gathered}I=\iint_{R}(x+y) d A \\\ \text { na região } R=\left\{(x, y) \mid 1<=x<=3, x / 3<=y<=x^{2} / 3\right\}\end{gathered}ã
a) Manualmente
b) No Scilab - Você pode adpatar o código do exercício modelo para este.
Resultado: 5,98

Passo 1

No enunciado temos que calcular a integral dupla
I = \iint_{R} (x + y)\,dA
na região
R = \bigl\{(x,y)\mid 1 \le x \le 3,\;\frac{x}{3} \le y \le \frac{x^{2}}{3}\bigr\}.
O conteúdo é integral dupla em coordenadas cartesianas, que vamos resolver como integral iterada.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada com x externo e y interno:
I = \int_{x=1}^{3}\!\int_{y=\frac{x}{3}}^{\frac{x^{2}}{3}} (x + y)\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
\int_{\frac{x}{3}}^{\frac{x^{2}}{3}} (x + y)\,dy = \biggl[x\,y + \frac{y^{2}}{2}\biggr]_{y=\frac{x}{3}}^{y=\frac{x^{2}}{3}} = x\Bigl(\frac{x^{2}}{3}-\frac{x}{3}\Bigr) + \frac{1}{2}\Bigl(\frac{x^{4}}{9}-\frac{x^{2}}{9}\Bigr).
Simplificando, obtemos
\frac{x^{3}-x^{2}}{3} \;+\;\frac{x^{4}-x^{2}}{18} = \frac{x^{4} + 6x^{3}-7x^{2}}{18}.

Passo 4

Agora integramos em x:
I = \int_{1}^{3} \frac{x^{4} + 6x^{3}-7x^{2}}{18}\,dx = \frac{1}{18}\Bigl[\frac{x^{5}}{5} + \frac{6x^{4}}{4} - \frac{7x^{3}}{3}\Bigr]_{1}^{3}.
Calculando em x=3:
\frac{3^{5}}{5} + \frac{6\cdot3^{4}}{4} - \frac{7\cdot3^{3}}{3} = \frac{243}{5} + \frac{6\cdot81}{4} - 63 =48{,}6 + 121{,}5 - 63 = 107{,}1.
Em x=1:
\frac{1}{5} + \frac{6}{4} - \frac{7}{3} = 0{,}2 + 1{,}5 - 2{,}333\ldots = -0{,}633\ldots.
A diferença é 107{,}1 - (-0{,}633\ldots) = 107{,}733\ldots. Dividindo por 18 dá aproximadamente 5{,}985.

Passo 5

Arredondando,
I \approx 5{,}98.

Passo 6

Código em Scilab usando a função intg2 para integral dupla:
// Define limite inferior de y
deff('y1 = ymin(x)', 'y1 = x/3');
// Define limite superior de y
deff('y2 = ymax(x)', 'y2 = x^2/3');
// Define o integrando f(x,y) = x + y
deff('z = f(x,y)', 'z = x + y');
// Calcula a integral dupla de x=1 a 3 e y=ymin(x) a ymax(x)
res = intg2(ymin, ymax, 1, 3, f);
// Exibe resultado
disp(res);

Resposta

I \approx 5{,}98

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