Calcule a integral de linha
para cada campo e curva dados.
-
, e
.
-
, e
: arco da circunferência
limitado ao primeiro quadrante e orientado no sentido
a
.
-
e
é o segmento de reta que liga o ponto (
) até o ponto (
).
-
e
é o caminho que liga o ponto
até o ponto
no plano
ao longo da curva de equação
onde
é um número natural. Interprete o caso
.
- O mesmo campo vetorial do item anterior e
é a poligonal formada por três segmentos de reta ligando os pontos
,
e
, nesta sequência. Relacione com o item anterior quando
é grande.
Passo 1
O enunciado pede cinco integrais de linha da forma
Para cada caso iremos (i) parametrizar
, (ii) calcular
, (iii) avaliar
na parametrização e (iv) integrar o produto escalar.
Passo 2
Para
e
Temos
Logo
e
Passo 3
Para
e arco
de
a
:
Passo 4
Para
no segmento de
a
:
Passo 5
Para
de
a
sobre
,
:
Para
isso dá
, que coincide com a reta
.
Passo 6
Mesmo
e
poligonal
:
– No primeiro segmento -variação
.
– No segundo .
– No terceiro .
Soma . Para
a curva
aproxima esse polígono, e
.
– No primeiro segmento
– No segundo
– No terceiro
Soma
Resposta
-
-
-
-
, e para vale -
(e coincide com o caso )