Questão 3 (1.0 pt):

Suponha que óleo esteja sendo derramado através da ruptura de um naviotanque e que se espalhe de uma forma circular perfeita cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{min}. Determine com que taxa o derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 m .

Passo 1

O enunciado trata de um derramamento de óleo que forma um disco circular de raio r em função do tempo t. Sabemos que a taxa de variação do raio é constante e igual a \frac{dr}{dt}=2 m/min. A pergunta quer a taxa de variação da área A do disco, ou seja, \frac{dA}{dt}, quando r=60 m. O conteúdo usado é taxas relacionadas em cálculo diferencial.

Passo 2

Escrevemos a relação entre a área A e o raio r de um círculo:
A = \pi r^2.

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t para relacionar \frac{dA}{dt} e \frac{dr}{dt}. Como \pi é constante, temos
\frac{dA}{dt} = \pi \cdot 2r \cdot \frac{dr}{dt} = 2\pi r \,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Substituímos \frac{dr}{dt}=2 m/min e r=60 m na expressão:
\frac{dA}{dt} = 2\pi \cdot 60 \cdot 2 = 240\pi.

Resposta

\frac{dA}{dt} = 240\pi m ^2/min.

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