Calcule:
I=\iint_{R}(x+2 y) d A
na região \mathrm{R}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mid 0<=\mathrm{x}<=2, \mathrm{x}^{2} / 2<=\mathrm{y}<=3 \mathrm{x}\right\}
a) Manualmente
b) No Scilab - Vocé pode adpatar o código do exercício modelo para este.
Resultado: 28,4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \iint_{R}(x+2y)\,dA
na região
R = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le x \le 2,\;\tfrac{x^2}{2}\le y\le 3x\bigr\}.
O conteúdo é aplicação de integrais duplas pelo Teorema de Fubini, montando a integral iterada e usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada em ordem dy\,dx, pois os limites de y dependem de x:
I = \int_{x=0}^{2}\Bigl(\int_{y=\tfrac{x^2}{2}}^{3x}(x+2y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral interna em y. Para x fixo,
\int_{\tfrac{x^2}{2}}^{3x}(x+2y)\,dy = \int_{\tfrac{x^2}{2}}^{3x}x\,dy \;+\;\int_{\tfrac{x^2}{2}}^{3x}2y\,dy.
Usando \int x\,dy = x\,y e \int 2y\,dy = y^2, obtemos
x\Bigl[y\Bigr]_{y=\tfrac{x^2}{2}}^{y=3x} \;+\;\Bigl[y^2\Bigr]_{y=\tfrac{x^2}{2}}^{y=3x} = x\bigl(3x - \tfrac{x^2}{2}\bigr) +\bigl((3x)^2 - (\tfrac{x^2}{2})^2\bigr).
Simplificando,
x\bigl(3x - \tfrac{x^2}{2}\bigr)=3x^2 - \tfrac{x^3}{2}, \quad (3x)^2 -\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr)^2 =9x^2 - \tfrac{x^4}{4},
então
\int_{\tfrac{x^2}{2}}^{3x}(x+2y)\,dy = 3x^2 - \tfrac{x^3}{2} + 9x^2 - \tfrac{x^4}{4} =12x^2 - \tfrac{x^3}{2} - \tfrac{x^4}{4}.

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 2:
I = \int_{0}^{2} \Bigl(12x^2 - \tfrac{x^3}{2} - \tfrac{x^4}{4}\Bigr)\,dx = \Bigl[12\cdot \tfrac{x^3}{3} - \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{x^4}{4} - \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{2}.
Isso é
\Bigl[4x^3 - \tfrac{x^4}{8} - \tfrac{x^5}{20}\Bigr]_{0}^{2} = 4\cdot 8 \;-\;\tfrac{16}{8}\;-\;\tfrac{32}{20} =32 -2 -1,6 =28,4.

Passo 5

Segue um exemplo de código em Scilab usando a função integral2 (semelhante à do modelo), onde as cotas inferiores e superiores de y são dadas como strings que dependem de x:
// define o integrando
function z=f(x,y)
    z = x + 2*y;
endfunction

// faz a integral dupla: x de 0 a 2, y de x^2/2 a 3*x
res = integral2(f, 0, 2, 'x.^2./2', '3.*x');

// mostra o resultado
disp("I ≈ " + string(res));

Resposta

I = 28,4

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