Calcule:
\bigcap_{x>2}\left(0, \frac{1}{x}\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a interseção
\bigcap_{x>2}\left(0,\frac{1}{x}\right).
Informações dadas que são relevantes:
  • Para cada real x tal que x>2 temos um intervalo aberto \left(0,\frac{1}{x}\right).
  • A operação pedida é a interseção de todos esses intervalos — ou seja, o conjunto de pontos que pertencem simultaneamente a \left(0,\frac{1}{x}\right) para todo x>2.

Passo 2

Entendendo o que significa pertencer à interseção: um número y pertence a
\bigcap_{x>2}\left(0,\frac{1}{x}\right)
se, e somente se, para todo x>2 vale y\in\left(0,\frac{1}{x}\right).
Em palavras: y precisa ser maior que 0 e, ao mesmo tempo, menor que \frac{1}{x} para cada escolha de x>2.

Passo 3

Observações sobre os intervalos \left(0,\frac{1}{x}\right):
  • Para x>2 temos \frac{1}{x}<\frac{1}{2}. Assim todos os pontos superiores dos intervalos estão em \left(0,\frac{1}{2}\right).
  • A função x\mapsto\frac{1}{x} é estritamente decrescente para x>0. Portanto, se x_1<x_2 com ambos >2, então
    \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2},
    logo
    \left(0,\frac{1}{x_2}\right)\subset\left(0,\frac{1}{x_1}\right).
    Isto mostra que os intervalos formam uma família decrescente (vai “encolhendo” quando x aumenta).

Passo 4

Vamos provar que nenhum número real pode pertencer à interseção.
Considere um candidato y\in\mathbb{R}. Há dois casos:
Caso A: y>0.
Queremos ver se é possível que y esteja em todos os intervalos \left(0,\frac{1}{x}\right).
Como y>0, existe um número real X tal que X>\max\{2,\frac{1}{y}\}. (Escolhemos X maior do que 2 e maior do que \frac{1}{y}.)
Para esse X vale \frac{1}{X}<\frac{1}{\,\frac{1}{y}\,}=y.
Portanto y\notin\left(0,\frac{1}{X}\right). Isso mostra que mesmo que y>0, existe um x>2 (por exemplo x=X) tal que y não pertence ao intervalo correspondente. Logo y não pode estar na interseção.
Caso B: y\le 0.
Cada intervalo \left(0,\frac{1}{x}\right) é aberto à esquerda em 0, ou seja, não contém 0 nem nenhum número negativo. Logo qualquer y\le 0 já falha em pertencer mesmo a um único desses intervalos, portanto não pode pertencer à interseção.
Como em ambos os casos y falha, concluímos que não existe y\in\mathbb{R} que pertença à interseção.

Passo 5

Intuição final: os intervalos \left(0,\frac{1}{x}\right) vão ficando arbitrariamente pequenos quando permitimos x crescer muito; dada qualquer distância positiva y de 0, podemos escolher x grande o bastante para que \frac{1}{x}<y. Além disso 0 não é incluído em nenhum intervalo (intervalos abertos). Por isso não sobra nenhum ponto comum a todos os intervalos.

Resposta

\varnothing

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