Calcule:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a interseção
.
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- Para cada real
tal que temos um intervalo aberto . - A operação pedida é a interseção de todos esses intervalos — ou seja, o conjunto de pontos que pertencem simultaneamente a
para todo .
Passo 2
Entendendo o que significa pertencer à interseção: um número
pertence a
se, e somente se, para todo vale
.
Em palavras: precisa ser maior que
e, ao mesmo tempo, menor que
para cada escolha de
.
se, e somente se, para todo
Em palavras:
Passo 3
Observações sobre os intervalos
:
- Para
temos . Assim todos os pontos superiores dos intervalos estão em . - A função
é estritamente decrescente para . Portanto, se com ambos , então
,
logo
.
Isto mostra que os intervalos formam uma família decrescente (vai “encolhendo” quandoaumenta).
Passo 4
Vamos provar que nenhum número real pode pertencer à interseção.
Considere um candidato . Há dois casos:
Considere um candidato
Caso A:
.
Queremos ver se é possível que esteja em todos os intervalos
.
Como , existe um número real
tal que
. (Escolhemos
maior do que
e maior do que
.)
Para esse vale
.
Portanto . Isso mostra que mesmo que
, existe um
(por exemplo
) tal que
não pertence ao intervalo correspondente. Logo
não pode estar na interseção.
Queremos ver se é possível que
Como
Para esse
Portanto
Caso B:
.
Cada intervalo é aberto à esquerda em
, ou seja, não contém
nem nenhum número negativo. Logo qualquer
já falha em pertencer mesmo a um único desses intervalos, portanto não pode pertencer à interseção.
Cada intervalo
Como em ambos os casos
falha, concluímos que não existe
que pertença à interseção.
Passo 5
Intuição final: os intervalos
vão ficando arbitrariamente pequenos quando permitimos
crescer muito; dada qualquer distância positiva
de
, podemos escolher
grande o bastante para que
. Além disso
não é incluído em nenhum intervalo (intervalos abertos). Por isso não sobra nenhum ponto comum a todos os intervalos.