Calcule:
\bigcup_{x \in \mathbb{Q}}\left(x-\frac{1}{2}, x+\frac{1}{2}\right);

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a união
\bigcup_{x \in \mathbb{Q}}\left(x-\tfrac{1}{2},\,x+\tfrac{1}{2}\right).
Informações dadas:
  • A união é tomada sobre todos os x pertencentes a \mathbb{Q} (os números racionais).
  • Cada conjunto que está sendo unido é o intervalo aberto \left(x-\tfrac{1}{2},\,x+\tfrac{1}{2}\right), isto é, o intervalo centrado em x com “raio” \tfrac{1}{2}.
  • Preciso determinar qual conjunto de números reais resulta dessa união.

Passo 2

Estratégia que vou usar (só explicando o plano, sem resolver ainda): vou provar que a união é exatamente todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}. Para isso faço duas inclusões:
  1. Mostrar que a união está contida em \mathbb{R}.
  2. Mostrar que \mathbb{R} está contido na união (isto é, todo real pertence a algum intervalo (x-\tfrac{1}{2},x+\tfrac{1}{2}) com x\in\mathbb{Q}).

Passo 3

Mostrando que a união está contida em \mathbb{R}.
Cada intervalo \left(x-\tfrac{1}{2},x+\tfrac{1}{2}\right) é um subconjunto de \mathbb{R}. Logo, a união de tais intervalos também é subconjunto de \mathbb{R}. Formalmente,
\bigcup_{x \in \mathbb{Q}}\left(x-\tfrac{1}{2},x+\tfrac{1}{2}\right)\subseteq\mathbb{R}.
Isso é óbvio, porque todos os pontos de cada intervalo são números reais.

Passo 4

Mostrando que \mathbb{R} está contido na união (a parte essencial).
Tomemos um real arbitrário y\in\mathbb{R}. Quero mostrar que existe um racional q\in\mathbb{Q} tal que y\in\left(q-\tfrac{1}{2},q+\tfrac{1}{2}\right), ou seja, |y-q|<\tfrac{1}{2}.
Vou construir explicitamente um racional próximo de y. Pegue o número inteiro m=\lfloor 3y\rfloor, isto é, m é a parte inteira de 3y. Por definição temos
m\le 3y < m+1,
dividindo por 3 obtemos
\frac{m}{3}\le y < \frac{m+1}{3}.
Defina q=\dfrac{m}{3}. Então q\in\mathbb{Q} (é um racional com denominador 3) e pela desigualdade anterior:
0\le y-q < \frac{1}{3}.
Isso implica |y-q|\le \tfrac{1}{3}. Como \tfrac{1}{3}<\tfrac{1}{2}, concluímos que
|y-q|<\tfrac{1}{2}.
Portanto y\in\left(q-\tfrac{1}{2},q+\tfrac{1}{2}\right) com q\in\mathbb{Q}. Como y foi um real arbitrário, isso mostra que
\mathbb{R}\subseteq\bigcup_{x \in \mathbb{Q}}\left(x-\tfrac{1}{2},x+\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Conclusão das duas inclusões.
Das Passos 3 e 4 temos simultaneamente
\bigcup_{x \in \mathbb{Q}}\left(x-\tfrac{1}{2},x+\tfrac{1}{2}\right)\subseteq\mathbb{R} \quad\text{e}\quad \mathbb{R}\subseteq\bigcup_{x \in \mathbb{Q}}\left(x-\tfrac{1}{2},x+\tfrac{1}{2}\right).
Portanto os conjuntos são iguais:
\bigcup_{x \in \mathbb{Q}}\left(x-\tfrac{1}{2},x+\tfrac{1}{2}\right)=\mathbb{R}.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: para y=\pi, calcule 3\pi\approx 9{,}4247, \lfloor 3\pi\rfloor=9, então q=9/3=3 e |\pi-3|\approx 0{,}1416<\tfrac{1}{3}. Assim \pi\in(3-\tfrac{1}{2},3+\tfrac{1}{2})=(2{,}5,3{,}5). Isso ilustra a ideia: racional com denominador 3 sempre fica a menos de \tfrac{1}{3} de qualquer real, daí fica dentro de distância \tfrac{1}{2}.

Resposta

\mathbb{R}

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