Calcule:
;
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a união
Informações dadas:
- A união é tomada sobre todos os
pertencentes a (os números racionais). - Cada conjunto que está sendo unido é o intervalo aberto
, isto é, o intervalo centrado em com “raio” . - Preciso determinar qual conjunto de números reais resulta dessa união.
Passo 2
Estratégia que vou usar (só explicando o plano, sem resolver ainda): vou provar que a união é exatamente todo o conjunto dos números reais
. Para isso faço duas inclusões:
- Mostrar que a união está contida em
. - Mostrar que
está contido na união (isto é, todo real pertence a algum intervalo com ).
Passo 3
Mostrando que a união está contida em
.
Cada intervalo
é um subconjunto de
. Logo, a união de tais intervalos também é subconjunto de
. Formalmente,
Isso é óbvio, porque todos os pontos de cada intervalo são números reais.
Passo 4
Mostrando que
está contido na união (a parte essencial).
Tomemos um real arbitrário
. Quero mostrar que existe um racional
tal que
, ou seja,
.
Vou construir explicitamente um racional próximo de
. Pegue o número inteiro
, isto é,
é a parte inteira de
. Por definição temos
dividindo por
obtemos
Defina
. Então
(é um racional com denominador
) e pela desigualdade anterior:
Isso implica
. Como
, concluímos que
Portanto
com
. Como
foi um real arbitrário, isso mostra que
Passo 5
Conclusão das duas inclusões.
Das Passos 3 e 4 temos simultaneamente
Portanto os conjuntos são iguais:
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: para
, calcule
,
, então
e
. Assim
. Isso ilustra a ideia: racional com denominador
sempre fica a menos de
de qualquer real, daí fica dentro de distância
.