Calcule (\boldsymbol{\nabla} \cdot(\mathbf{F} \times \mathbf{G})).
\mathbf{F}(x, y, z)=y z \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x y \mathbf{k}
\mathbf{G}(x, y, z)=x y \mathbf{j}+x y z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do produto vetorial FtimesG.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial em R^3, em particular a identidade
nablacdot(FtimesG) =Gcdot(nablatimesF) -Fcdot(nablatimesG)

Passo 2

Calculamos primeiro o rotacional de F(x,y,z)=yz,i+xz,j+xy,k:
nablatimesF = i&j&k partial/partial x&partial/partial y&partial/partial z yz&xz&xy =0,i-0,j+0,k =0

Passo 3

Agora o rotacional de G(x,y,z)=0;i+xy,j+xyz,k:
nablatimesG = i&j&k partial/partial x&partial/partial y&partial/partial z 0&xy&xyz =xz,i-yz,j+y,k

Passo 4

Aplicando a identidade do Passo 1:
nablacdot(FtimesG) =Gcdot0-Fcdot(nablatimesG) =-l(yzcdot xz + xzcdot(-yz) + xycdot yr) =-xy^2

Resposta

nablacdot(FtimesG)=-x y^2

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