Calcule (\boldsymbol{\nabla} \times(\nabla \times \mathbf{F})).
\mathbf{F}(x, y, z)=y^{2} x \mathbf{i}-3 y z \mathbf{j}+x y \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
nabla timesl(nabla times Fr)
para
F(x,y,z)=x,y^2,i-3,y,z,j+x,y,k
Esse é um exercício de cálculo vetorial em que usamos a identidade
nablatimesl(nablatimesFr) =nablal(nablacdotFr) -nabla^2F
Então precisamos calcular a divergência de F, seu gradiente e o laplaciano de F.

Passo 2

Calculamos primeiro a divergência
nablacdotF =partialpartial x(x,y^2) +partialpartial y(-3,y,z) +partialpartial z(x,y) =y^2-3,z
Em seguida, o gradiente de nablacdotF:
nablal(y^2-3,zr) =l(partialpartial x,partialpartial y,partialpartial zr) (y^2-3,z) =(0,;2,y,;-3)

Passo 3

Agora o laplaciano de F é o vetor
nabla^2F =l(nabla^2Fx,;nabla^2Fy,;nabla^2Fzr)
Para Fx=x,y^2:
nabla^2Fx =partial^2partial x^2(x,y^2) +partial^2partial y^2(x,y^2) +partial^2partial z^2(x,y^2) =0+2,x+0 =2,x
Para Fy=-3,y,z e Fz=x,y todas as derivadas de segunda ordem somam zero, logo
nabla^2F=(2,x,;0,;0)

Passo 4

Aplicando a identidade vetorial:
nablatimesl(nablatimesFr) =nablal(nablacdotFr) -nabla^2F =(0,2,y,-3)-(2,x,0,0) =(-2,x,;2,y,;-3)

Resposta

nablatimesl(nablatimesFr) =-2,x,i+2,y,j-3,k

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