Calcule div \mathbf{F} e (\operatorname{rot} \mathbf{F}).
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo
F(x,y,z)=1raizx^2+y^2+z^2,(x,i+y,j+z,k)
que vamos chamar de Fx=xr, Fy=yr, Fz=zr, onde definimos r=raizx^2+y^2+z^2. O conteúdo usado será a definição de divergente e de rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Lembrando as fórmulas em coordenadas cartesianas, para um campo F=(Fx,Fy,Fz) temos
divF =partial Fxpartial x +partial Fypartial y +partial Fzpartial z,
rotF =nablatimesF = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z Fx & Fy & Fz

Passo 3

Vamos primeiro computar partial Fx/partial x. Temos
Fx =x,r^-1,
então, pela regra do produto,
partial Fxpartial x =partialpartial xl(xr),r^-1 + x,partialpartial xl(r^-1r) =r^-1 + xl(-1r)r^-2partial rpartial x
Como partial r/partial x = x/r, fica
partial Fxpartial x =1r-x^2r^3
Pelo mesmo raciocínio,
partial Fypartial y =1r-y^2r^3, partial Fzpartial z =1r-z^2r^3

Passo 4

Somando as três derivadas parciais obtemos
divF =l(1r-x^2r^3r) +l(1r-y^2r^3r) +l(1r-z^2r^3r) = 3r-x^2+y^2+z^2r^3 = 3r-r^2r^3 = 2r
Logo, para rneq0,
divF=2raizx^2+y^2+z^2

Passo 5

Para o rotacional, note que F=nabla r (pois r=raizx^2+y^2+z^2 e seu gradiente é (x,y,z)/r). Como o rotacional de um gradiente é sempre nulo, segue
rotF=0

Resposta

divF=2raizx^2+y^2+z^2, válido para raizx^2+y^2+z^2neq0, rotF=0

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