Calcule div \mathbf{F} e (\operatorname{rot} \mathbf{F}).
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k})
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}}(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k})
Passo 1
O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo
que vamos chamar de
,
,
, onde definimos
. O conteúdo usado será a definição de divergente e de rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Lembrando as fórmulas em coordenadas cartesianas, para um campo
temos
Passo 3
Vamos primeiro computar
partial Fx/partial x . Temos
então, pela regra do produto,
Como
partial r/partial x = x/r , fica
Pelo mesmo raciocínio,
Passo 4
Somando as três derivadas parciais obtemos
Logo, para
rneq0 ,
Passo 5
Para o rotacional, note que
F=nabla r (pois
r=raizx^2+y^2+z^2 e seu gradiente é
(x,y,z)/r ). Como o rotacional de um gradiente é sempre nulo, segue