Calcule:
(c) integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y d z d y d x

Passo 1

Temos que calcular a integral tripla \r
integral-1^2integral1^x^2integral0^x+y2x^2y,dz,dy,dx. \r
Esse tipo de integral é resolvido por integração iterada: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z, tratando x e y como constantes: \r
integral0^x+y2x^2y,dz =2x^2y,(x+y) =2x^3y+2x^2y^2

Passo 3

Agora integramos em y de 1 até x^2: \r
integral1^x^2l(2x^3y+2x^2y^2r),dy =2x^3,y^22|1^x^2 +2x^2,y^33|1^x^2 = x^3(x^4-1)+tfrac23x^2(x^6-1) \r
Simplificando, o integrando passa a ser \r
x^7-x^3+tfrac23x^8-tfrac23x^2

Passo 4

Integramos agora em x de -1 até 2: \r
integral-1^2l(x^7+tfrac23x^8-x^3-tfrac23x^2r),dx =l[tfracx^88+tfrac2x^927-tfracx^44-tfrac2x^39r]-1^2

Passo 5

Avaliaremos a primitiva nos extremos.\r
F(2)=tfrac2^88+tfrac2cdot2^927-tfrac2^44-tfrac2cdot2^39 =tfrac173227, F(-1)=tfrac(-1)^88+tfrac2(-1)^927-tfrac(-1)^44-tfrac2(-1)^39 =tfrac5216 \r
Subtraindo e reduzindo ao mesmo denominador: \r
integral=tfrac173227-tfrac5216 =tfrac5138

Resposta

tfrac5138

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