Considere r(t)=t i+3 cos (t) j+3 sen(t) k.
Determine o vetor normal unitário N(t);

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário N(t) associado à curva
r(t)=t,i+3cos(t),j+3sin(t),k.
O conteúdo envolve o cálculo dos vetores de Frenet: primeiro o vetor tangente unitário T(t), depois sua derivada para obter N(t)=T'(t)/|T'(t)|.

Passo 2

Calcular a velocidade r'(t) e sua norma:
r'(t)=lang<= 1,,-3sin(t),,3cos(t)rang<=
|r'(t)|=raiz1^2+(-3sin(t))^2+(3cos(t))^2 =raiz1+9(sin^2(t)+cos^2(t))=raiz10

Passo 3

Determinar o vetor tangente unitário T(t):
T(t)=r'(t)|r'(t)| =1raiz10lang<= 1,,-3sin(t),,3cos(t)rang<=

Passo 4

Calcular a derivada T'(t) e sua norma:
T'(t) =1raiz10lang<= 0,,-3cos(t),,-3sin(t)rang<= =-3raiz10lang<= 0,cos(t),sin(t)rang<=
|T'(t)| =3raiz10raizcos^2(t)+sin^2(t) =3raiz10

Passo 5

Construir o vetor normal unitário N(t):
N(t) =T'(t)|T'(t)| =-lang<= 0,cos(t),sin(t)rang<= =lang<= 0,-cos(t),-sin(t)rang<=

Resposta

N(t)=lang<= 0,,-cos(t),,-sin(t)rang<=

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