Determine o volume do sólido situado abaixo do plano acima do parabolóide . Resp.: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o volume do sólido que está abaixo do plano e acima do parabolóide . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, já que estamos lidando com uma área no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde o plano e o parabolóide se encontram. Para achar essa interseção, igualamos as duas equações:
Essa equação representa um círculo no plano com raio . Por isso, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde e .
Passo 3
O volume que queremos calcular é a integral dupla da diferença entre o plano e o parabolóide sobre a região delimitada pelo círculo de raio . A fórmula fica assim:
Em coordenadas polares, , então substituímos e temos: