Determine o volume do sólido situado abaixo do plano z=4 e acima do parabolóide z=x^2+y^2. Resp.: 8 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o volume do sólido que está abaixo do plano z = 4e e acima do parabolóide z = x^2 + y^2 . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, já que estamos lidando com uma área no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde o plano e o parabolóide se encontram. Para achar essa interseção, igualamos as duas equações:
4e = x^2 + y^2
Essa equação representa um círculo no plano xy com raio r = raiz4e = 2raize . Por isso, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta .

Passo 3

O volume que queremos calcular é a integral dupla da diferença entre o plano e o parabolóide sobre a região delimitada pelo círculo de raio 2raize . A fórmula fica assim:
V = integral duplaD (4e - (x^2 + y^2)) , dA
Em coordenadas polares, dA = r, dr, dtheta , então substituímos e temos:
V = integral0^2pi integral0^2raize (4e - r^2) r, dr, dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral0^2raize (4e r - r^3) dr
Integrando termo a termo:
= 4e cdot 12 r^2 - 14 r^4 g|0^2raize
Substituindo os limites:
= 4e cdot 12 (2raize)^2 - 14 (2raize)^4
= 4e cdot 12 cdot 4e - 14 cdot 16e^2
= 8e^2 - 4e^2 = 4e^2

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a theta :
V = integral0^2pi 4e^2 , dtheta = 4e^2 cdot 2pi = 8pi e^2

Resposta

O volume do sólido é 8pi .

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