Encontre o polinômio de Taylor Pn(x) para a função f em a.
f(x)=x^5, a=1, n=3

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=3 para a função f(x)=x^5 centrado em a=1. Para isso, vamos usar a fórmula geral de Taylor em torno de x=1 e calcular as derivadas até a terceira ordem nesse ponto.

Passo 2

Vamos obter as derivadas de f:
f(x)=x^5, f'(x)=5x^4, f''(x)=20x^3, f'''(x)=60x^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em x=1:
f(1)=1, f'(1)=5, f''(1)=20, f'''(1)=60

Passo 4

A fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a=1 é
P3(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)2!(x-1)^2+f'''(1)3!(x-1)^3
Substituindo os valores que calculamos:
P3(x) =1+5(x-1)+202(x-1)^2+606(x-1)^3 =1+5(x-1)+10(x-1)^2+10(x-1)^3

Resposta

P3(x)=1+5(x-1)+10(x-1)^2+10(x-1)^3

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