Encontre o polinômio de Taylor Pn(x) para a função f em a.
f(x)=e^x, a=2, n=3

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem n=3 para f(x)=e^x em torno de a=2. A gente vai usar a fórmula geral de Taylor:
Pn(x)=sumk=0^n f^(k)(a)k!,(x-a)^k

Passo 2

Como f(x)=e^x, todas as derivadas são iguais a e^x. Logo, em x=2 temos
f^(k)(2)=e^2 para k=0,1,2,3

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula de Taylor, obtemos
P3(x)=sumk=0^3 e^2k!(x-2)^k = e^2sumk=0^3 (x-2)^kk!

Passo 4

Basta expandir a soma para escrever o polinômio explicitamente:
P3(x) = e^2l[1 + (x-2) + tfrac(x-2)^22! + tfrac(x-2)^33!r]

Resposta

P3(x)=e^2l[1 + (x-2) + tfrac(x-2)^22 + tfrac(x-2)^36r]

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