Resolva as inequações.
|x-3|<x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação |x-3|<x+1.
O que vamos usar: a definição de valor absoluto em dois casos (quando o argumento é não negativo e quando é negativo) e a observação de que a parte direita x+1 deve ser positiva para a desigualdade ter sentido.

Passo 2

Primeiro, observamos que se x+1\le0, isto é, x\le-1, então a parte direita é não positiva enquanto |x-3|\ge0. Assim não existe x\le-1 que satisfaça
|x-3|<x+1.
Logo só precisamos buscar soluções com
x>-1.

Passo 3

Para x>-1 dividimos em dois subcasos conforme o sinal de x-3.
1. Se x-3\ge0 (isto é, x\ge3), então |x-3|=x-3. A inequação vira
x-3<x+1,
que simplifica para -3<1, sempre verdadeira. Portanto todo x\ge3 satisfaz a inequação.
2. Se x-3<0 (isto é, -1<x<3), então |x-3|=3-x. A inequação vira
3-x<x+1,
que leva a 2<2x ou seja x>1. Neste ramo, as soluções são 1<x<3.

Passo 4

Combinando ambos os subcasos dentro de x>-1, temos 1<x<3 ou x\ge3, o que equivale a x>1.

Resposta

A solução da inequação é x>1.

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