Calcule:
© integral0^2 pi raiz1+cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão dentro da raiz e depois calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 1 + cos x = 2 cos^2 (x2) usando uma identidade trigonométrica conhecida. Sabemos que:
integral0^2 pi raiz1+cos x , dx = integral0^2 pi raiz2 cos^2 (x2) , dx
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a raiz. A raiz de raiz2 cos^2 (x2) = raiz2 cdot |cos (x2)| é:
raiz2 integral0^2 pi |cos (x2)| , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Para integrar a função valor absoluto de raiz2 ( integral0^pi cos (x2) , dx + integralpi^2pi -cos (x2) , dx ) , precisamos saber onde é positiva e onde é negativa no intervalo de a .
Sabemos que é positivo quando está entre e , e negativo entre e . Aplicando isso a , temos:
  • é positivo quando
  • é negativo quando
Então, podemos dividir a integral em duas partes:

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. A antiderivada de integral0^pi cos (x2) , dx = 2 sin (pi2) - 2 sin (0) = 2(1) - 0 = 2 é integralpi^2pi -cos (x2) , dx = -[2 sin (pi) - 2 sin (pi2)] = -[0 - 2(1)] = 2 , então:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
2 + 2 = 4
E multiplicamos pelo raiz2 times 4 = 4raiz2 que estava fora das integrais:

Resposta

O valor da integral é .

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