Calcule:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão dentro da raiz e depois calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
usando uma identidade trigonométrica conhecida. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a raiz. A raiz de
é:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Para integrar a função valor absoluto de
, precisamos saber onde
é positiva e onde é negativa no intervalo de
a
.
Sabemos que
é positivo quando
está entre
e
, e negativo entre
e
. Aplicando isso a
, temos:
-
é positivo quando -
é negativo quando
Então, podemos dividir a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. A antiderivada de
é
, então:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
E multiplicamos pelo
que estava fora das integrais:
Resposta
O valor da integral
é
.