f(x, y)=x 2+y 2, se(x, y) 6=(0,0)
^0 0,
a) Calcule o limite f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
b) Calcule o limite lim (x, y)(1,1) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
c) É contínua em ( 0,0 )? Justifique.
d) É contínua em (1,1)? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x, y) = raizx^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) definida por:
O conteúdo aqui envolve limites e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, a gente vai calcular limites em pontos específicos e verificar se a função é contínua nesses pontos. Precisaremos usar conceitos de limite em várias direções e a definição de continuidade.

Passo 2

a) Calcule o limite lim(x, y) to (0,0) raizx^2 + y^2 = 0 ou mostre que esse limite não existe.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. Queremos saber qual valor a função está se aproximando quando se aproxima de .
A função representa a distância do ponto até a origem. À medida que se aproxima de , essa distância deveria diminuir.
Então, intuitivamente:
Vamos formalizar:
Para qualquer caminho que siga em direção a , tende a 0. Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
Como o limite é o mesmo em todos os caminhos possíveis, concluímos que o limite existe e é igual a 0.

Passo 3

b) Calcule o limite f(1,1) = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 ou mostre que esse limite não existe.
Aqui, queremos saber o comportamento da função próximo ao ponto lim(x, y) to (1,1) f(x, y) = raiz2 .
A função é contínua em todos os pontos exceto possivelmente em . Em :
Como a função é contínua em , o limite quando se aproxima de é simplesmente o valor da função nesse ponto:

Passo 4

c) É contínua em lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) ? Justifique.
Para verificar a continuidade em lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 , precisamos ver se:
f(0,0) = 0
Já calculamos no item a) que:
E sabemos que:
Como os dois valores são iguais, a função é contínua em .

Passo 5

d) É contínua em lim(x, y) to (1,1) f(x, y) = f(1,1) ? Justifique.
Assim como no item b), para a continuidade em lim(x, y) to (1,1) f(x, y) = raiz2 , precisamos que:
f(1,1) = raiz2
Calculamos que:
E:
Como os valores são iguais, a função é contínua em .

Resposta

a)
b)
c) A função é contínua em .
d) A função é contínua em .

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