Calcule a integral.
(i)
(i)
Passo 1
Ok, vamos resolver a integral
. Isso envolve calcular a área sob a curva de uma função que combina uma função exponencial com uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que se simplifica ao derivar, e
como a parte restante.
Passo 3
Vamos definir:
Aqui, derivamos
para obter
e integramos
para encontrar
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Usaremos novamente a integração por partes para essa integral.
Vamos definir:
Passo 6
Aplicando a integração por partes nessa nova integral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos no Passo 4:
Simplificando:
Passo 8
Vamos chamar a integral original de
:
Substituindo na equação:
Agora, vamos somar
aos dois lados para isolar
:
Passo 9
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a