Calcule a integral.
(i) integral e^-theta cos (2 theta) d theta

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral integral e^-theta cos (2 theta) d theta. Isso envolve calcular a área sob a curva de uma função que combina uma função exponencial com uma função trigonométrica. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma ferramenta útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar, e como a parte restante.

Passo 3

Vamos definir:
u = e^-theta Rightarrow du = -e^-theta dtheta
dv = cos(2theta) dtheta Rightarrow v = sin(2theta)2
Aqui, derivamos para obter e integramos para encontrar .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = e^-theta cdot sin(2theta)2 - integral sin(2theta)2 cdot (-e^-theta) dtheta
Simplificando:
= e^-theta sin(2theta)2 + 12 integral e^-theta sin(2theta) dtheta

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral u = e^-theta Rightarrow du = -e^-theta dtheta . Usaremos novamente a integração por partes para essa integral.
Vamos definir:
dv = sin(2theta) dtheta Rightarrow v = -cos(2theta)2

Passo 6

Aplicando a integração por partes nessa nova integral:
integral e^-theta sin(2theta) dtheta = e^-theta cdot (-cos(2theta)2) - integral (-cos(2theta)2) cdot (-e^-theta) dtheta
Simplificando:
= -e^-theta cos(2theta)2 - 12 integral e^-theta cos(2theta) dtheta

Passo 7

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na equação que tínhamos no Passo 4:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = e^-theta sin(2theta)2 + 12 ( -e^-theta cos(2theta)2 - 12 integral e^-theta cos(2theta) dtheta )
Simplificando:
integral e^-theta cos(2theta) dtheta = e^-theta sin(2theta)2 - e^-theta cos(2theta)4 - 14 integral e^-theta cos(2theta) dtheta

Passo 8

Vamos chamar a integral original de I = integral e^-theta cos(2theta) dtheta :
I = e^-theta sin(2theta)2 - e^-theta cos(2theta)4 - 14 I
Substituindo na equação:
I + 14 I = e^-theta sin(2theta)2 - e^-theta cos(2theta)4
Agora, vamos somar 54 I = e^-theta sin(2theta)2 - e^-theta cos(2theta)4 aos dois lados para isolar :

Passo 9

Agora, resolvemos para I = ( e^-theta sin(2theta)2 - e^-theta cos(2theta)4 ) cdot 45 :
I = 2 e^-theta sin(2theta) - e^-theta cos(2theta)5 + C
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
integral e^-theta cos(2theta) d theta = 2 e^-theta sin(2theta) - e^-theta cos(2theta)5 + C

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