Calcule a integral.
(t) integral0^t e^t cos (t-s) d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que integral0^t e^t cos (t-s) , ds = e^t integral0^t cos (t-s) , ds é uma constante em relação à variável de integração . Isso significa que podemos tirar da integral para simplificar a coisa. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos focar na integral u = t - s . Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
du = -ds Rightarrow ds = -du
Com isso, precisamos encontrar em termos de :
Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com essa substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 4

Substituindo tudo isso na integral, temos:
integral0^t cos (t-s) , ds = integralt^0 cos (u) cdot (-du) = integral0^t cos(u) , du
Aqui, a integral mudou de limites de para e o sinal negativo foi cancelado, simplificando a expressão.

Passo 5

Agora, vamos calcular integral0^t cos(u) , du = sin(u) gr|0^t = sin(t) - sin(0) = sin(t) - 0 = sin(t) . A antiderivada de em relação a é . Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 6

Finalmente, voltando à expressão original, temos:
e^t integral0^t cos (t-s) , ds = e^t cdot sin(t)

Resposta

A integral é igual a .

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