Calcule:
(d) integral0^pi sec ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi sec^3 x , dx. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar saber adaptar técnicas de integração para funções que envolvem a secante elevada a uma potência, além de tratar integrais que podem ter pontos onde a função não está definida.

Passo 2

Primeiro, lembremos que sec x = 1cos x. Olhando para o intervalo de 0 a pi, percebemos que em x = pi2, o valor de cos x é zero. Isso significa que sec x se torna indefinida nesse ponto, criando uma descontinuidade na função dentro do nosso intervalo de integração.

Passo 3

Por causa dessa descontinuidade em x = pi2, precisamos dividir a integral em duas partes para tratar os pontos problemáticos separadamente. Então, temos:
integral0^pi sec^3 x , dx = lima to pi2^- integral0^a sec^3 x , dx + limb to pi2^+ integralb^pi sec^3 x , dx
Isso ajuda a analisar o comportamento da integral próximo ao ponto de descontinuidade.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Sabemos que a integral de sec^3 x é:
integral sec^3 x , dx = 12 tan x sec x + 12 ln |tan x + sec x| + C
Aplicando os limites para a primeira parte:
lima to pi2^- [ 12 tan a sec a + 12 ln |tan a + sec a| ]
À medida que a se aproxima de pi2 pela esquerda, tan a e sec a tendem ao infinito positivo, fazendo com que toda a expressão cresça sem limites.
Para a segunda parte:
limb to pi2^+ [ 12 tan pi sec pi - ( 12 tan b sec b + 12 ln |tan b + sec b| ) ]
Aqui, tan pi = 0 e sec pi = -1, mas conforme b se aproxima de pi2 pela direita, tan b e sec b tendem ao infinito negativo, fazendo com que a expressão também cresça sem limites (no caso, tendendo a negativo, mas a magnitude é infinita).

Resposta

A integral integral0^pi sec^3 x , dx não converge; seu valor é infinito.

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