Calcule C, onde x=raizt, y=t, 4 <= t <= 9 é dada por .

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial dado por P(x,y)=6x^2+2y^2 e Q(x,y)=4xy ao longo da curva C paramatrizada por x=raiz t, y=t, com t variando de 4 a 9. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, e vamos usar a definição
integralC P,dx + Q,dy = integralt=4^9 l[P(x(t),y(t)),x'(t) + Q(x(t),y(t)),y'(t)r] dt

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas da parametrização e substituímos em P e Q:
x(t)=t^1/2, x'(t)=12 t^-1/2,
y(t)=t,; y'(t)=1,
P(x(t),y(t))=6t + 2t^2,
Q(x(t),y(t))=4,t^1/2cdot t = 4t^3/2

Passo 3

Montamos o integrando usando P,x'(t)+Q,y'(t):
P,x' = (6t + 2t^2)cdot 12 t^-1/2 = 3t^1/2 + t^3/2,
Q,y' = 4t^3/2 cdot 1 = 4t^3/2
Somando, o integrando fica
3t^1/2 + t^3/2 + 4t^3/2 = 3t^1/2 + 5t^3/2

Passo 4

Agora integramos em t de 4 a 9:
integral4^9 l(3t^1/2 + 5t^3/2r) dt = 3integral4^9 t^1/2 dt + 5integral4^9 t^3/2 dt

Passo 5

Calculamos as primitivas:
integral t^1/2 dt = 23t^3/2,
integral t^3/2 dt = 25t^5/2
Então
3cdot 23t^3/2 + 5cdot 25t^5/2 = 2t^3/2 + 2t^5/2
Avaliando de 4 a 9:
l[2t^3/2 + 2t^5/2r]4^9 = l(2cdot27 + 2cdot243r) - l(2cdot8 + 2cdot32r) = (54 + 486) - (16 + 64) = 540 - 80 = 460

Resposta

460

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