Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty(-1)^n raiznn+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série alternada sumn=1^infty(-1)^nraiznn+1. O conteúdo envolve testes de convergência de séries: convergência absoluta, teste da série alternada (Leibniz) e comparação com séries-p.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos: sumn=1^inftyraiznn+1Para grandes n, temos tfracraiznn+1sim n^-1/2. Como sum n^-1/2 é uma série-p com p=1/2<1, ela diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz para convergência condicional. Definimos an=raiznn+1>0. Precisamos checar dois pontos:
  • limntoinftyan=limntoinftyraiznn+1=0.
  • an é decrescente para n>=2. De fato, definindo f(x)=tfracraizxx+1 e calculando
f'(x)=(1-x)2raizx,(x+1)^2, vemos que f'(x)<0 para x>1, ou seja, an+1 a partir de n=1.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste de Leibniz, concluímos que ela é condicionalmente convergente.

Resposta

Convergente condicionalmente.

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