Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
x^2 y^32 x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a função f:R^2toR, definida por
f(x,y)=x^2y^32x^2+y^2&se (x,y)neq(0,0)0&se (x,y)=(0,0)
é contínua. Vamos usar teoria de continuidade de quocientes de polinômios e limites em coordenadas polares.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o denominador 2x^2+y^2 é estritamente positivo, então f(x,y) é quociente de polinômios sem divisão por zero. Logo f é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para checar a continuidade em (0,0) precisamos ver se
lim(x,y)to(0,0)x^2y^32x^2+y^2=0
iguala o valor f(0,0)=0. Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
f(r,theta)=r^5cos^2thetasin^3thetar^2(2cos^2theta+sin^2theta)=r^3cos^2thetasin^3theta2cos^2theta+sin^2theta
Como 2cos^2theta+sin^2theta fica entre 1 e 2, o fator angular é limitado, e portanto
Isso mostra que o limite é 0, então |f(r,theta)|<= C,r^3to0nquad(rto0) é contínua em f.

Resposta

A função é contínua em todo R^2.

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