Calcule integralC-y^2 d x+x y d y, onde C é dada por x=2 t, y=t^3, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha da forma diferencial omega = -y^2,dx + x,y,dy sobre a curva C dada por x=2t, y=t^3, com 0<= t<=2.

Passo 2

Para usar parametrização, montamos as expressões de x(t) e y(t) e suas diferenciais. Temos
x=2t, y=t^3, dx=2,dt, dy=3t^2,dt

Passo 3

Substituímos na forma diferencial. O termo -y^2,dx vira
-(t^3)^2cdot2,dt = -2t^6,dt,
e o termo x,y,dy vira
(2t)(t^3)cdot3t^2,dt = 6t^6,dt
Somando, o integrando é
-2t^6 +6t^6 = 4t^6

Passo 4

A integral de linha fica
integralComega = integral0^24t^6,dt
Agora basta calcular essa integral.

Passo 5

Calculamos
integral0^24t^6,dt = 4[t^77]0^2 = 4cdot2^77 = 5127

Resposta

dfrac5127

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