Calcule
onde
é a fronteira da região delimitada pela equação
e o eixo
, com orientação anti-horária
Passo 1
Resumo do enunciado: calcular a integral de linha
,
onde é a fronteira da região limitada pela semicircunferência
e o eixo
, no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo vetorial – Teorema de Green para trocar integral de linha por integral dupla – e depois uso de coordenadas polares para facilitar o cálculo na região circular.
onde
Matéria envolvida: Cálculo vetorial – Teorema de Green para trocar integral de linha por integral dupla – e depois uso de coordenadas polares para facilitar o cálculo na região circular.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para
e
,
Aqui temos
Calculando as derivadas parciais (derivada de
em relação a
é 1, tratando
como constante; derivada de
em relação a
é
):
Logo o integrando vira
O domínio
é o semicírculo de raio 2 acima do eixo
.
Passo 3
A gente transforma a linha em dupla:
-
é só a área do semicírculo de raio 2:
-
: usamos coordenadas polares
, com
e . Então
– Para
:
– Para :
Logo
– Para
Logo
Somando as duas partes:
Pelo Teorema de Green, esse é o valor da integral de linha original.