Calcule ointC(x^2-y^2) d x+x d y onde C é a fronteira da região delimitada pela equação y=raiz4-x^2 e o eixo x, com orientação anti-horária

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral de linha
ointC(x^2 - y^2),dx + x,dy,
onde C é a fronteira da região limitada pela semicircunferência
y=raiz4-x^2 e o eixo x, no sentido anti-horário.
Matéria envolvida: Cálculo vetorial – Teorema de Green para trocar integral de linha por integral dupla – e depois uso de coordenadas polares para facilitar o cálculo na região circular.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para P(x,y) e Q(x,y),
ointC P,dx + Q,dy ;=; integral duplaD!l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Aqui temos
P(x,y)=x^2 - y^2, Q(x,y)=x
Calculando as derivadas parciais (derivada de x em relação a x é 1, tratando y como constante; derivada de -y^2 em relação a y é -2y):
partial Qpartial x = 1, partial Ppartial y = -2y
Logo o integrando vira
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-2y) = 1 + 2y
O domínio D é o semicírculo de raio 2 acima do eixo x.

Passo 3

A gente transforma a linha em dupla:
ointC (x^2 - y^2),dx + x,dy = integral duplaD (1 + 2y),dA = integral duplaD 1,dA + integral duplaD 2y,dA
  1. integral duplaD 1,dA é só a área do semicírculo de raio 2:
12pi(2)^2 ;=; 2pi
  1. integral duplaD 2y,dA: usamos coordenadas polares
    (x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta), com
    rin[0,2] e thetain[0,pi]. Então
integral duplaD 2y,dA =integral0^pi!integral0^22(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pisintheta,dtheta ;times;integral0^22r^2,dr
– Para r: integral0^22r^2,dr = 2cdot2^33 = 163
– Para theta: integral0^pisintheta,dtheta = 2
Logo integral duplaD 2y,dA = 163times2 = 323
Somando as duas partes:
integral duplaD (1+2y),dA = 2pi + 323
Pelo Teorema de Green, esse é o valor da integral de linha original.

Resposta

2pi + 323

Exercícios relacionados