3^circ ) Mostre que a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Geométrica (PG) de razão q neq 1 e primeiro termo a1 in N é dada por
sn=sumi=1^n an=a1 1-q^n1-q

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma Progressão Geométrica (PG) de primeiro termo a1inN e razão qneq1. O conteúdo principal aqui é o uso de manipulação algébrica (telescoping) para somar uma série geométrica.

Passo 2

Em toda PG de razão q e primeiro termo a1, o termo geral é
ai = a1,q^,i-1, i=1,2,dots,n

Passo 3

Definimos a soma dos n primeiros termos como
sn = sumi=1^n ai = a1 + a1q + a1q^2 + cdots + a1q^n-1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados de sn por q:
q,sn = a1q + a1q^2 + cdots + a1q^n-1 + a1q^n
Subtraindo essa expressão de sn, obtemos telescoping:
sn - q,sn = l(a1 + a1q + cdots + a1q^n-1r) - l(a1q + cdots + a1q^nr) = a1 - a1q^n

Passo 5

Fatorando sn(1 - q) no lado esquerdo e isolando sn, vem
sn,(1 - q) = a1,(1 - q^n) Longrightarrow sn = a1,1 - q^n1 - q

Resposta

sn = a1,1 - q^n1 - q

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