1. Verifique que as funções z=x^2+y^2 e z=(x^2-3 x y+y^2)(2 x^2+3 y^2)^-1 / 2 são homogêneas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções
f(x,y)=x^2+y^2
e
g(x,y)=x^2-3xy+y^2raiz2x^2+3y^2
são homogêneas. Vamos usar a definição: uma função h(x,y) é homogênea de grau k se, para todo real t,
h(tx,ty)=t^k,h(x,y)

Passo 2

Verificamos f. Para qualquer t,
f(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2 =t^2(x^2+y^2) =t^2f(x,y)
Logo, f é homogênea de grau 2.

Passo 3

Verificamos g. Para qualquer t,
g(tx,ty) =(tx)^2-3(tx)(ty)+(ty)^2raiz2(tx)^2+3(ty)^2 =t^2(x^2-3xy+y^2)raizt^2(2x^2+3y^2) =t^2(x^2-3xy+y^2)traiz2x^2+3y^2 =t,g(x,y)
Portanto, g é homogênea de grau 1.

Resposta

A primeira função é homogênea de grau 2 e a segunda é homogênea de grau 1.

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