Resolva o problema de valor inicial dado.
(x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4}, \quad y(1)=\frac{1}{2})
(x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4}, \quad y(1)=\frac{1}{2})
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial de Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
Aqui identificamos
,
e
.
Passo 2
Primeiro dividimos tudo por
para colocar em forma padrão:
Passo 3
Na equação de Bernoulli fazemos a troca
Calculamos
Multiplicando a equação padrão por
obtemos uma equação linear em
:
Passo 4
Para resolver
o fator integrante é
Multiplicando por
e integrando:
Logo
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Como
, em
temos
Portanto
Passo 6
Voltando a
com
, temos