Resolva o problema de valor inicial dado.
(x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4}, \quad y(1)=\frac{1}{2})

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^2dydx-2xy=3y^4, y(1)=12
Isso é uma equação diferencial de Bernoulli, pois pode ser escrita na forma
dydx+P(x),y=Q(x),y^n
Aqui identificamos n=4, P(x)=-tfrac2x e Q(x)=tfrac3x^2.

Passo 2

Primeiro dividimos tudo por x^2 para colocar em forma padrão:
dydx-2x,y=3x^2,y^4

Passo 3

Na equação de Bernoulli fazemos a troca
u=y^1-n=y^-3
Calculamos
dudx=-3,y^-4,dydx
Multiplicando a equação padrão por -3y^-4 obtemos uma equação linear em u:
dudx+6x,u=-9x^2

Passo 4

Para resolver
dudx+6x,u=-9x^2,
o fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral6x,dxr)=x^6
Multiplicando por x^6 e integrando:
ddxl(x^6ur)=-9x^4 Longrightarrow x^6u=integral(-9x^4),dx=-9x^55+C
Logo
u=-9x^5/5 + Cx^6=-95x+Cx^6

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=tfrac12. Como u=y^-3, em x=1 temos
u(1)=l(tfrac12r)^-3=8 =,-95!+!C ;Longrightarrow; C=8+95=495
Portanto
u(x)=-95x+495x^6 =-9x^5+495x^6

Passo 6

Voltando a y com y^-3=u, temos
y^3=1u =5x^649-9x^5 Longrightarrow y(x)=l(5x^649-9x^5r)^!tfrac13

Resposta

y(x)=l(5x^649-9x^5r)^!tfrac13

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