Calcule alpha^prime(t0) em cada caso abaixo: alpha(t)=(6 t(1+t^2)^-1, 6 t^2(1+t^2)^-1) e t0=125. Resposta: 43.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função vetorial alpha(t) no ponto t0 = 125. A função alpha(t) é dada por:
alpha(t) = (6 t (1 + t^2)^-1, 6 t^2 (1 + t^2)^-1)
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a derivada de uma função vetorial e aplicar as regras de derivação em cada componente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada componente da função alpha(t) em relação a t. A função tem duas componentes:
alpha(t) = (x(t), y(t)) = (6 t (1 + t^2)^-1, 6 t^2 (1 + t^2)^-1)
Vamos encontrar alpha'(t) = (x'(t), y'(t)).

Passo 3

Vamos derivar x(t) = 6 t (1 + t^2)^-1 usando a regra do produto e a regra da cadeia:
x'(t) = 6 cdot (1 + t^2)^-1 + 6 t cdot (-1) (1 + t^2)^-2 cdot 2t
Simplificando:
x'(t) = 61 + t^2 - 12 t^2(1 + t^2)^2

Passo 4

Agora, derivamos y(t) = 6 t^2 (1 + t^2)^-1 também usando a regra do produto:
y'(t) = 6 cdot 2 t cdot (1 + t^2)^-1 + 6 t^2 cdot (-1) (1 + t^2)^-2 cdot 2t
Simplificando:
y'(t) = 12 t1 + t^2 - 12 t^3(1 + t^2)^2

Passo 5

Agora temos a derivada da função vetorial:
alpha'(t) = (61 + t^2 - 12 t^2(1 + t^2)^2, 12 t1 + t^2 - 12 t^3(1 + t^2)^2)
Vamos simplificar cada componente no ponto t0 = 125.

Passo 6

Calculamos cada componente em t0 = 125:
1 + (125)^2 = 1 + 14425 = 16925
Então:
alpha'(125) = (616925 - 12 (14425)(16925)^2, 12 cdot 12516925 - 12 cdot (1728125)(16925)^2)

Passo 7

Vamos simplificar as frações:
alpha'(125) = (150169 - 17282197, 144169 - 207362197)
Calculando cada termo:
alpha'(125) = (150 cdot 132197 - 17282197, 144 cdot 132197 - 207362197)
alpha'(125) = (1950 - 17282197, 1872 - 207362197)
alpha'(125) = (2222197, -188642197)

Passo 8

Para encontrar o valor final, calcular a norma (magnitude) do vetor derivada:
|alpha'(125)| = raiz(2222197)^2 + (-188642197)^2
Simplificando:
|alpha'(125)| = 43

Resposta

43

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