Calcule, em cada caso, as matrizes que comutam com A.
A=[ll2 & 1 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar todas as matrizes que comutam com a matriz A = 2 & 1 0 & 1 . Isso está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente sobre matrizes que comutam. Para resolver, vamos usar conceitos de multiplicação de matrizes e igualar os resultados para encontrar as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas matrizes comutarem. Duas matrizes A e B comutam se AB = BA , onde AB é a multiplicação de A por B e BA é a multiplicação de B por A . Nosso objetivo é encontrar todas as matrizes B que satisfazem essa igualdade com a matriz A dada.

Passo 3

Vamos considerar uma matriz genérica B 2x2:
B = b11 & b12 b21 & b22
Agora, vamos calcular AB e BA .

Passo 4

Calculando AB :
AB = 2 & 1 0 & 1 b11 & b12 b21 & b22 = 2b11 + b21 & 2b12 + b22 0b11 + 1b21 & 0b12 + 1b22 = 2b11 + b21 & 2b12 + b22 b21 & b22

Passo 5

Calculando BA :
BA = b11 & b12 b21 & b22 2 & 1 0 & 1 = b11cdot2 + b12cdot0 & b11cdot1 + b12cdot1 b21cdot2 + b22cdot0 & b21cdot1 + b22cdot1 = 2b11 & b11 + b12 2b21 & b21 + b22

Passo 6

Para que AB = BA , as matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos os elementos correspondentes:
  1. 2b11 + b21 = 2b11
  2. 2b12 + b22 = b11 + b12
  3. b21 = 2b21
  4. b22 = b21 + b22

Passo 7

Vamos resolver cada equação:
  1. 2b11 + b21 = 2b11 Rightarrow b21 = 0
  2. 2b12 + b22 = b11 + b12 Rightarrow b12 + b22 = b11
  3. b21 = 2b21 Rightarrow b21 = 0 (já vimos isso no primeiro passo)
  4. b22 = b21 + b22 Rightarrow 0 = 0 (não nos dá nova informação)

Passo 8

Com b21 = 0 e b12 + b22 = b11 , podemos expressar b22 em termos de b11 e b12 :
b22 = b11 - b12
Assim, a matriz B que comuta com A fica:
B = b11 & b12 0 & b11 - b12

Resposta

As matrizes que comutam com A são da forma
B = a & b 0 & a - b
onde a e b são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados