Calcule todas as matrizes X, quadradas de ordem 2 , tais que X^2=I2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes quadradas X de ordem 2, com entradas reais, tais que
X^2 = I2
Esse problema entra no assunto de matrizes involutórias (ou seja, matrizes que são sua própria inversa). Vamos usar teoria de polinômio mínimo e, também, montar diretamente as equações nas entradas de X.

Passo 2

Escrevemos a matriz genérica
X = a & b[4pt] c & d
Então
X^2 = a^2 + bc & b(a+d)[4pt] c(a+d) & d^2 + bc
e igualando a I2 obtemos o sistema
a^2 + bc = 1, b,(a+d) = 0, c,(a+d) = 0, d^2 + bc = 1 ]

Passo 3

Das primeiras e última equações vem
a^2 = d^2 Longrightarrow d = pm a
As duas do meio dizem
b,(a+d)=0 e c,(a+d)=0,
ou seja, ou
(i) a+d=0
ou
(ii) b=c=0.

Passo 4

Analisando cada caso:
Caso (i): a+d=0 implica d=-a.
Então da equação a^2+bc=1 sobra
a^2 + bc =1,
e todas as soluções desse tipo são
X = a & b[4pt] c & -a com a^2 + bc = 1
Caso (ii): b=c=0.
Das duas equações a^2+bc=1 e d^2+bc=1 segue a^2=1 e d^2=1. Logo
X = varepsilon1 & 0[4pt] 0 & varepsilon2 ,
com varepsiloni=pm1. Isso inclui
,I2, -I2 e as diagonais
diag(1,-1),;diag(-1,1).
(Repare que diag(1,-1) e diag(-1,1) já surgem no caso (i) ao escolher a=0,,bc=1.)]

Passo 5

Em linguagem de diagonalização, toda involutória satisfaz
X^2=I2 Longrightarrow o polinômio mínimo de (X) divide (t-1)(t+1), ôí
ou seja, X é diagonalizável e seus autovalores são +1 ou -1. Assim
X = P varepsilon1 & 0[4pt] 0 & varepsilon2 P^-1,
com varepsiloni=pm1 e P invertível.]

Resposta

Todas as matrizes 2times2 reais que satisfazem X^2=I2 são:
1. X = pm I2 2. As matrizes
X = a & b[4pt] c & -a com a^2 + bc = 1,
que equivalem às matrizes similares a diag(1,-1).]

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