Dadas as retas
r: X=(3, n,-1)+lambda(m, 4, m) e s: X=(1,1,0)+lambda(p,-1,2-p)
Determine os valores de m, n, p in R para que a reta r esteja contida no plano
pi:-3x+y+z=4
e que s seja ortogonal ao plano pi.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
rcolon X=(3,n,-1)+lambda,(m,4,m), scolon X=(1,1,0)+mu,(p,-1,2-p),
e o plano
picolon -3x+y+z=4
Queremos encontrar m,n,p tais que:
1. A reta r esteja contida em pi.
2. A reta s seja ortogonal ao plano pi.

Passo 2

Para que r fique em pi precisamos que seu vetor direção seja paralelo ao plano, isto é, perpendicular ao vetor normal de pi. O vetor normal de pi é
N = (-3,1,1)
O vetor direção de r é vr=(m,4,m). A condição vrperp N é
(m,4,m)cdot(-3,1,1)=0 Longrightarrow -3m+4+m=0 Longrightarrow -2m+4=0 Longrightarrow m=2

Passo 3

Ainda para rsubsetpi, basta que um ponto de r satisfaça a equação de pi. Tomando o ponto P=(3,n,-1), temos
-3cdot3 + n + (-1) = 4 Longrightarrow -9 + n -1 =4 Longrightarrow n=14

Passo 4

Para que s seja ortogonal ao plano pi, seu vetor direção vs=(p,-1,2-p) deve ser paralelo ao normal N=(-3,1,1). Logo existe tau tal que
(p,-1,2-p)=tau,(-3,1,1)
Da segunda coordenada vem -1=tau, ou seja tau=-1. Então
p = -3tau = -3(-1)=3, 2-p = tau = -1,
e ambas se conferem. Portanto p=3.

Resposta

m =2
n =14
p =3

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