Calcule, em cada caso, as matrizes que comutam com A.
A=[ll0 & 1 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 0 & 1 1 & 1 e a questão é descobrir quais matrizes X comutam com A , ou seja, satisfazem AX = XA . Isso faz parte da álgebra linear, especificamente no estudo de comutatividade de matrizes. Para resolver, vamos precisar montar X como uma matriz genérica, calcular AX e XA , e igualar os resultados para encontrar as condições que X deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que X é uma matriz 2 times 2 com elementos gerais. Então, podemos escrever:
X = a & b c & d
onde a, b, c, d são números que queremos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos calcular AX . Multiplicando as matrizes A e X , temos:
AX = 0 & 1 1 & 1 a & b c & d = 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d 1 cdot a + 1 cdot c & 1 cdot b + 1 cdot d = c & d a + c & b + d

Passo 4

Vamos também calcular XA :
XA = a & b c & d 0 & 1 1 & 1 = a cdot 0 + b cdot 1 & a cdot 1 + b cdot 1 c cdot 0 + d cdot 1 & c cdot 1 + d cdot 1 = b & a + b d & c + d

Passo 5

Para AX = XA , as matrizes resultantes precisam ser iguais. Então, igualamos os elementos correspondentes:
c & d a + c & b + d = b & a + b d & c + d
Isso nos dá as seguintes equações:
  1. c = b
  2. d = a + b
  3. a + c = d
  4. b + d = c + d

Passo 6

Vamos resolver essas equações passo a passo. Da primeira equação, já sabemos que c = b . Substituindo c por b na segunda equação, temos d = a + b . Na terceira equação, substituindo c por b , fica a + b = d , que é a mesma coisa que a segunda equação. A quarta equação simplifica para b + d = b + d , que é sempre verdadeira e não nos dá novas informações. Então, as únicas condições que temos são c = b e d = a + b .

Passo 7

Com base nessas condições, podemos expressar X de forma mais simples. Sabemos que:
c = b e d = a + b
Então, substituindo na matriz X , temos:
X = a & b b & a + b
Isso significa que qualquer matriz que comuta com A deve ter essa forma, onde a e b podem ser qualquer número real.

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são da forma:
X = a & b b & a + b
onde a e b são números reais quaisquer.

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