Calcule, em cada caso, as matrizes que comutam com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 0 & 1 1 & 1 e a questão é descobrir quais matrizes X comutam com A , ou seja, satisfazem AX = XA . Isso faz parte da álgebra linear, especificamente no estudo de comutatividade de matrizes. Para resolver, vamos precisar montar X como uma matriz genérica, calcular AX e XA , e igualar os resultados para encontrar as condições que X deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que X é uma matriz 2 times 2 com elementos gerais. Então, podemos escrever:
X = a & b c & d
onde a, b, c, d são números que queremos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos calcular AX . Multiplicando as matrizes A e X , temos:
AX = 0 & 1 1 & 1 a & b c & d = 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d 1 cdot a + 1 cdot c & 1 cdot b + 1 cdot d = c & d a + c & b + d
Passo 4
Vamos também calcular XA :
XA = a & b c & d 0 & 1 1 & 1 = a cdot 0 + b cdot 1 & a cdot 1 + b cdot 1 c cdot 0 + d cdot 1 & c cdot 1 + d cdot 1 = b & a + b d & c + d
Passo 5
Para AX = XA , as matrizes resultantes precisam ser iguais. Então, igualamos os elementos correspondentes:
c & d a + c & b + d = b & a + b d & c + d
Isso nos dá as seguintes equações:
c = b
d = a + b
a + c = d
b + d = c + d
Passo 6
Vamos resolver essas equações passo a passo. Da primeira equação, já sabemos que c = b . Substituindo c por b na segunda equação, temos d = a + b . Na terceira equação, substituindo c por b , fica a + b = d , que é a mesma coisa que a segunda equação. A quarta equação simplifica para b + d = b + d , que é sempre verdadeira e não nos dá novas informações. Então, as únicas condições que temos são c = b e d = a + b .
Passo 7
Com base nessas condições, podemos expressar X de forma mais simples. Sabemos que:
c = b e d = a + b
Então, substituindo na matriz X , temos:
X = a & b b & a + b
Isso significa que qualquer matriz que comuta com A deve ter essa forma, onde a e b podem ser qualquer número real.