Calcule, em cada caso, o volume do sólido quando a região delimitada pelas curvas f(x) e g(x) gira em torno do eixo x.
f(x)=x^2 e g(x)=x^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo volumes de sólidos por rotação! A questão pede para calcular o volume gerado quando a região limitada pelas curvas f(x) = x^2 e g(x) = x^3 gira em torno do eixo x . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que envolve integrar a área das seções transversais ao redor do eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam, ou seja, onde f(x) = g(x) . Isso vai nos dar os limites de integração.
x^2 = x^3
Vamos resolver essa equação:
x^3 - x^2 = 0 x^2(x - 1) = 0
Então, as soluções são x = 0 e x = 1 . Esses são os pontos onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra entre x = 0 e x = 1 . Para isso, podemos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0.5 :
f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 g(0.5) = (0.5)^3 = 0.125
Como f(x) > g(x) nesse intervalo, a curva f(x) está acima da g(x) .

Passo 4

Vamos usar o método dos discos, onde o volume V é dado por:
V = pi integrala^b [f(x)^2 - g(x)^2] , dx
Aqui, a = 0 e b = 1 . Substituindo as funções:
V = pi integral0^1 ( (x^2)^2 - (x^3)^2 ) dx V = pi integral0^1 ( x^4 - x^6 ) dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
V = pi [ x^55 - x^77 ]0^1 V = pi ( ( 1^55 - 1^77 ) - ( 0^55 - 0^77 ) ) V = pi ( 15 - 17 ) V = pi ( 7 - 535 ) V = pi ( 235 ) V = 2pi35

Resposta

O volume do sólido gerado é 2pi35 unidades cúbicas.

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