Calcule, em cada caso, o volume do sólido quando a região delimitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo
.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo envolvendo volumes de sólidos por rotação! A questão pede para calcular o volume gerado quando a região limitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que envolve integrar a área das seções transversais ao redor do eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam, ou seja, onde
. Isso vai nos dar os limites de integração.
Vamos resolver essa equação:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra entre
e
. Para isso, podemos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
nesse intervalo, a curva
está acima da
.
Passo 4
Vamos usar o método dos discos, onde o volume
é dado por:
Aqui,
e
. Substituindo as funções:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.