Determinar, se existir, uma função que tenha por campo gradiente cada campo
ou
seguinte:
Passo 1
O enunciado pede para achar uma função
tal que
com
. O conteúdo envolvido é campo conservativo e potencial escalar; vamos verificar se
é conservativo e, se for, obter
integrando as componentes.
Passo 2
Para um campo ser conservativo em domínio simplesmente conexo (como
), basta checar se o rotacional
é nulo. Calculamos:
Fazendo as derivadas parciais, cada componente dá zero, logo
Passo 3
Para encontrar o potencial
, integramos a primeira componente
em relação a
:
onde
é uma função ainda desconhecida.
Passo 4
Impondo que
, temos
Isso implica
, logo
.
Passo 5
Impondo que
, obtemos
logo
e
é constante. Assim chegamos ao potencial geral.