Determinar, se existir, uma função que tenha por campo gradiente cada campo F(x, y) ou F(x, y, z) seguinte:
F(x, y, z)=(x y^2 z^2, x^2 y z^2, x^2 y^2 z) forall(x, y, z) in R^3

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função f: R^3to R tal que nabla f=vec F com
vec F(x,y,z)=(x y^2 z^2,;x^2 y z^2,;x^2 y^2 z). O conteúdo envolvido é campo conservativo e potencial escalar; vamos verificar se vec F é conservativo e, se for, obter f integrando as componentes.

Passo 2

Para um campo ser conservativo em domínio simplesmente conexo (como R^3), basta checar se o rotacional nablatimesvec F é nulo. Calculamos:
nablatimesvec F=l(partial F3partial y-partial F2partial z,;partial F1partial z-partial F3partial x,;partial F2partial x-partial F1partial yr)
Fazendo as derivadas parciais, cada componente dá zero, logo nablatimesvec F=(0,0,0) e vec F é conservativo.

Passo 3

Para encontrar o potencial f, integramos a primeira componente F1 em relação a x:
f(x,y,z)=integral x y^2 z^2,dx=x^2 y^2 z^22+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função ainda desconhecida.

Passo 4

Impondo que partial f/partial y=F2, temos
partialpartial yl(tfracx^2 y^2 z^22+g(y,z)r)=x^2 y z^2+partial gpartial ystackrel!=x^2 y z^2
Isso implica partial g/partial y=0, logo g(y,z)=h(z).

Passo 5

Impondo que partial f/partial z=F3, obtemos
partialpartial zl(tfracx^2 y^2 z^22+h(z)r)=x^2 y^2 z+h'(z)stackrel!=x^2 y^2 z,
logo h'(z)=0 e h(z)=C é constante. Assim chegamos ao potencial geral.

Resposta

f(x,y,z)=tfracx^2 y^2 z^22+C

Exercícios relacionados