Seja f: R^2 longrightarrow R, diferenciável, tal que f(tx, ty)=+^2 f(x, y), forall(x, y) in R^2 e forall+in R
Provar que:
lang<=nabla f(x, y),(x, y)rang<==2 f(x, y), forall(x, y) in R^2
ou
x partial fpartial x(x, y)+y partial fpartial y(x, y)=2 f(x, y)
Simplificadamente,
partial fpartial x x+partial fpartial y y=2 f(x, y)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável f: ℝ²→ℝ que é homogênea de grau 2, ou seja, f(tx,ty)=t²·f(x,y) para todo t∈ℝ. Queremos provar que ⟨∇f(x,y),(x,y)⟩=2f(x,y). Vamos usar o conceito de funções homogêneas e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos uma função auxiliar φ(t)=f(t x,t y). Pelo enunciado, φ(t)=t²·f(x,y). Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar φ(t):
φ'(t)=∂f∂x(t x,t y)·x+∂f∂y(t x,t y)·y

Passo 3

Agora derivamos diretamente a expressão t²·f(x,y) em relação a t, tratando f(x,y) como constante: φ(t)=t²·f(x,y) implica
φ'(t)=2t·f(x,y)

Passo 4

Igualamos as duas fórmulas para φ’(t) e então avaliamos em t=1. Isso dá:
∂f∂x(x,y)·x+∂f∂y(x,y)·y=2·f(x,y)
Pronto, isso é exatamente ⟨∇f(x,y),(x,y)⟩=2f(x,y).

Resposta

x \frac{∂f}{∂x}(x,y)+y \frac{∂f}{∂y}(x,y)=2f(x,y)

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