Seja
, diferenciável, tal que
e
Provar que:
ou
Simplificadamente,
Provar que:
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável f: ℝ²→ℝ que é homogênea de grau 2, ou seja, f(tx,ty)=t²·f(x,y) para todo t∈ℝ. Queremos provar que ⟨∇f(x,y),(x,y)⟩=2f(x,y). Vamos usar o conceito de funções homogêneas e a regra da cadeia.
Passo 2
Definimos uma função auxiliar φ(t)=f(t x,t y). Pelo enunciado, φ(t)=t²·f(x,y). Agora aplicamos a regra da cadeia para derivar φ(t):
Passo 3
Agora derivamos diretamente a expressão t²·f(x,y) em relação a t, tratando f(x,y) como constante: φ(t)=t²·f(x,y) implica
Passo 4
Igualamos as duas fórmulas para φ’(t) e então avaliamos em t=1. Isso dá:
Pronto, isso é exatamente ⟨∇f(x,y),(x,y)⟩=2f(x,y).
Resposta
x \frac{∂f}{∂x}(x,y)+y \frac{∂f}{∂y}(x,y)=2f(x,y)