Determinar, se existir, uma função que tenha por campo gradiente cada campo F(x, y) ou F(x, y, z) seguinte:
F(x, y)=(x y^2, x^2 y), forall(x, y) in I R^2

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar uma função escalar f(x,y) cujo gradiente seja o campo vetorial vec F(x,y)=(xy^2,,x^2y). Isso é um problema de potencial: a matéria envolve reconhecer quando um campo é conservativo (ou seja, é gradiente de algo) e depois integrar as componentes pra achar f.

Passo 2

Primeiro, teste se vec F=(P,Q) é conservativo em R^2. Precisamos checar se partial P/partial y = partial Q/partial x. Aqui P(x,y)=xy^2 e Q(x,y)=x^2y.

Passo 3

Calcule partial P/partial y e partial Q/partial x:
partial Ppartial y = partialpartial y(xy^2)=2xy,
partial Qpartial x = partialpartial x(x^2y)=2xy
Como os dois derivadas são iguais e R^2 é simplesmente conexo, o campo é conservativo.

Passo 4

Agora integramos P=xy^2 em relação a x para obter uma expressão para f(x,y) mais uma função arbitrária de y, digamos C(y):
f(x,y)=integral xy^2,dx=x^2y^22+C(y)

Passo 5

Para determinar C(y), derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a Q(x,y)=x^2y:
partial fpartial y=x^2y^22'y + C'(y)=x^2y + C'(y)
e isso deve ser igual a x^2y, logo C'(y)=0 e C(y) é constante.

Resposta

A função potencial é
f(x,y)=x^2y^22+C,
com C constante arbitrária.

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