Determinar, se existir, uma função que tenha por campo gradiente cada campo
ou
seguinte:
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar uma função escalar f(x,y) cujo gradiente seja o campo vetorial
. Isso é um problema de potencial: a matéria envolve reconhecer quando um campo é conservativo (ou seja, é gradiente de algo) e depois integrar as componentes pra achar f.
Passo 2
Primeiro, teste se
é conservativo em
. Precisamos checar se
. Aqui
e
.
Passo 3
Calcule
e
:
Como os dois derivadas são iguais e
Passo 4
Agora integramos
em relação a
para obter uma expressão para f(x,y) mais uma função arbitrária de y, digamos
:
Passo 5
Para determinar
, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
e isso deve ser igual a
Resposta
A função potencial é
com C constante arbitrária.