Calcule, em cada caso, o volume do sólido quando a região delimitada pelas curvas f(x) e g(x) gira em torno do eixo x.
f(x)=raizx e g(x)=x.
V=pi integrala^b[f(x)^2-g(x)^2] d x.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos achar o volume de um sólido que surge quando a região entre duas curvas, f(x) = raizx e g(x) = x, gira em torno do eixo x. A gente vai usar o método dos discos, que envolve integrais para calcular esse volume. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas, configurar a integral correta e calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam, ou seja, resolver raizx = x. Isso vai nos dar os limites de integração, a e b.
Vamos resolver raizx = x:
raizx = x
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x = x^2
Rearranjando:
x^2 - x = 0
Fatorando:
x(x - 1) = 0
Então, x = 0 ou x = 1. Esses são os nossos limites de integração: a = 0 e b = 1.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Usamos a fórmula:
V = pi integrala^b [f(x)^2 - g(x)^2] dx
Substituindo f(x) = raizx e g(x) = x, temos:
V = pi integral0^1 (raizx)^2 - (x)^2 dx
Simplificando os termos dentro da integral:
V = pi integral0^1 x - x^2 dx

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral0^1 x - x^2 dx
Integrando termo a termo:
integral x , dx = x^22
integral x^2 , dx = x^33
Então:
integral0^1 x - x^2 dx = [x^22 - x^33]0^1
Avaliando nos limites:
(1^22 - 1^33) - (0^22 - 0^33) = (12 - 13) - 0 = 12 - 13 = 36 - 26 = 16

Resposta

Então, o volume do sólido é:
V = pi times 16 = pi6

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