Calcule, em cada caso, o volume do sólido quando a região delimitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo
.
e
.
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos achar o volume de um sólido que surge quando a região entre duas curvas,
e
, gira em torno do eixo
. A gente vai usar o método dos discos, que envolve integrais para calcular esse volume. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas, configurar a integral correta e calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam, ou seja, resolver
. Isso vai nos dar os limites de integração,
e
.
Vamos resolver
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Fatorando:
Então,
ou
. Esses são os nossos limites de integração:
e
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Usamos a fórmula:
Substituindo
e
, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Avaliando nos limites:
Resposta
Então, o volume do sólido é: