Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condições:
- Está contido no interior do cilindro
e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
- Está abaixo do plano
.
- Está entre os planos
e
.
Passo 1
Resumo do Enunciado: Queremos calcular o volume de um sólido que está dentro do cilindro
, no primeiro octante (onde
), abaixo do plano
, e entre os planos
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são especialmente úteis para sólidos com simetria circular.
Passo 2
Conversão para Coordenadas Cilíndricas: Nas coordenadas cilíndricas, temos as relações:
O cilindro
se torna
, ou seja,
. Isso significa que o raio
varia de 0 até 3.
Passo 3
Definindo os Limites para
: Como o sólido está no primeiro octante, tanto
quanto
são positivos. Além disso, estamos entre os planos
e
:
-
implica , então . -
implica , então .
Portanto,
varia de
a
.
Passo 4
Determinando os Limites para
: O sólido está abaixo do plano
, o que rearranjado fica
. Em coordenadas cilíndricas:
Como estamos no primeiro octante,
varia de 0 até
.
Passo 5
Montando a Integral Tripla: Com todos os limites definidos, podemos configurar a integral tripla para o volume
:
Aqui, o termo
é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Calculando a Integral: Vamos resolver a integral passo a passo.
- Integral em relação a
:
- Integral em relação a
:r
- Integral em relação a
:theta
Resposta
O volume do sólido é 81 unidades cúbicas.