Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condições:
  • Está contido no interior do cilindro x^2+y^2=9 e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
  • Está abaixo do plano 9 x+9 y-z=0.
  • Está entre os planos x-y=0 e x=0.

Passo 1

Resumo do Enunciado: Queremos calcular o volume de um sólido que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9 , no primeiro octante (onde x, y, z >= 0 ), abaixo do plano 9x + 9y - z = 0 , e entre os planos x - y = 0 e x = 0 . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são especialmente úteis para sólidos com simetria circular.

Passo 2

Conversão para Coordenadas Cilíndricas: Nas coordenadas cilíndricas, temos as relações:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
O cilindro x^2 + y^2 = 9 se torna r^2 = 9 , ou seja, r = 3 . Isso significa que o raio r varia de 0 até 3.

Passo 3

Definindo os Limites para theta: Como o sólido está no primeiro octante, tanto x quanto y são positivos. Além disso, estamos entre os planos x - y = 0 e x = 0 :
  • x - y = 0 implica costheta - sintheta = 0 , então theta = pi4 .
  • x = 0 implica costheta = 0 , então theta = pi2 .
Portanto, theta varia de pi4 a pi2 .

Passo 4

Determinando os Limites para z: O sólido está abaixo do plano 9x + 9y - z = 0 , o que rearranjado fica z = 9x + 9y . Em coordenadas cilíndricas:
z = 9r costheta + 9r sintheta = 9r(costheta + sintheta)
Como estamos no primeiro octante, z varia de 0 até 9r(costheta + sintheta) .

Passo 5

Montando a Integral Tripla: Com todos os limites definidos, podemos configurar a integral tripla para o volume V :
V = integraltheta=pi4^pi2 integralr=0^3 integralz=0^9r(costheta + sintheta) r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo r é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Calculando a Integral: Vamos resolver a integral passo a passo.
  1. Integral em relação a z :
integral0^9r(costheta + sintheta) r , dz = r cdot z |0^9r(costheta + sintheta) = 9r^2(costheta + sintheta)
  1. Integral em relação a r :
integral0^3 9r^2(costheta + sintheta) , dr = 9(costheta + sintheta) cdot r^33 |0^3 = 9(costheta + sintheta) cdot 9 = 81(costheta + sintheta)
  1. Integral em relação a theta :
integralpi4^pi2 81(costheta + sintheta) , dtheta = 81 [ sintheta - costheta ]pi4^pi2
= 81 [ (sinpi2 - cospi2) - (sinpi4 - cospi4) ]
= 81 [ (1 - 0) - ( raiz22 - raiz22 ) ] = 81 times 1 = 81

Resposta

O volume do sólido é 81 unidades cúbicas.

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