Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condições:
- Está contido no interior do cilindro
e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
- Está abaixo do plano
.
- Está entre os planos
e
.
Answer:
Answer:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo é calcular o volume de um sólido que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $, no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas ou zero), abaixo do plano $ 7x + 7y - z = 0 $ e entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar as coordenadas cilíndricas e estabelecer os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
- $ x = r \cos \theta $
- $ y = r \sin \theta $
- $ z = z $
O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $ se torna $ r^{2} = 9 $, ou seja, $ r = 3 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para $ \theta $. Como estamos no primeiro octante, onde $ x \geq 0 $ e $ y \geq 0 $, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 4
Para os limites de $ r $, já sabemos que o cilindro tem raio 3, então $ r $ varia de $ 0 $ a $ 3 $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os limites para $ z $. O sólido está abaixo do plano $ 7x + 7y - z = 0 $, que podemos reescrever como $ z = 7x + 7y $. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Como o sólido está no primeiro octante e abaixo desse plano, $ z $ varia de $ 0 $ a $ 7r(\cos \theta + \sin \theta) $.
Passo 6
Por último, precisamos considerar que o sólido está entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $. Vamos traduzir isso para coordenadas cilíndricas:
- $ x = 0 $ se torna $ r \cos \theta = 0 $, o que implica $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
- $ x - y = 0 $ se torna $ r \cos \theta - r \sin \theta = 0 $, ou seja, $ \cos \theta = \sin \theta $, o que dá $ \theta = \frac{\pi}{4} $.
Então, $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 7
Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume $ V $:
Aqui, o termo $ r $ vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas $ r , dz , dr , d\theta $.
Passo 8
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Passo 9
Agora, integramos em relação a $ r $:
Passo 10
Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
Calculando os limites:
Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
Para $ \theta = \frac{\pi}{4} $:
Substituindo:
Resposta
O volume do sólido é 63 unidades cúbicas.