Utilize integrais triplas em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido que satisfaz as seguintes condições:
  • Está contido no interior do cilindro x^2+y^2=9 e possui todas as suas coordenadas maiores ou iguais a zero (ou seja, está no primeiro octante).
  • Está abaixo do plano 7 x+7 y-z=0.
  • Está entre os planos x-y=0 e x=0.
    Answer: square

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Nosso objetivo é calcular o volume de um sólido que está dentro do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $, no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas ou zero), abaixo do plano $ 7x + 7y - z = 0 $ e entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar as coordenadas cilíndricas e estabelecer os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
  • $ x = r \cos \theta $
  • $ y = r \sin \theta $
  • $ z = z $
O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $ se torna $ r^{2} = 9 $, ou seja, $ r = 3 $.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para $ \theta $. Como estamos no primeiro octante, onde $ x \geq 0 $ e $ y \geq 0 $, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 4

Para os limites de $ r $, já sabemos que o cilindro tem raio 3, então $ r $ varia de $ 0 $ a $ 3 $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os limites para $ z $. O sólido está abaixo do plano $ 7x + 7y - z = 0 $, que podemos reescrever como $ z = 7x + 7y $. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
z
Como o sólido está no primeiro octante e abaixo desse plano, $ z $ varia de $ 0 $ a $ 7r(\cos \theta + \sin \theta) $.

Passo 6

Por último, precisamos considerar que o sólido está entre os planos $ x - y = 0 $ e $ x = 0 $. Vamos traduzir isso para coordenadas cilíndricas:
  • $ x = 0 $ se torna $ r \cos \theta = 0 $, o que implica $ \theta = \frac{\pi}{2} $.
  • $ x - y = 0 $ se torna $ r \cos \theta - r \sin \theta = 0 $, ou seja, $ \cos \theta = \sin \theta $, o que dá $ \theta = \frac{\pi}{4} $.
Então, $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 7

Agora que temos todos os limites, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume $ V $:
V
Aqui, o termo $ r $ vem do elemento de volume em coordenadas cilíndricas $ r , dz , dr , d\theta $.

Passo 8

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z

Passo 9

Agora, integramos em relação a $ r $:
r

Passo 10

Por fim, integramos em relação a $ \theta $:
theta
Calculando os limites:
Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
V = integralpi4^pi2 63(cos theta + sin theta) , dtheta = 63 [ sin theta - cos theta ]pi4^pi2
Para $ \theta = \frac{\pi}{4} $:
theta = pi2
Substituindo:
sin ( pi2 ) = 1 e cos ( pi2 ) = 0

Resposta

O volume do sólido é 63 unidades cúbicas.

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