Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial em relação a
da função
Informações dadas e observações importantes:
- A variável em que devemos derivar é
. - A variável
deve ser tratada como constante durante a diferenciação. - A função contém dois termos:
e . - Domínio natural onde a expressão está definida:
(porque exige ). - O que se pede: calcular
, isto é, .
Passo 2
Lembrete didático sobre derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
é a derivada da função obtida mantendo
fixo. Em notação:
Na prática, para problemas de prova, isso significa: trate
como uma constante e aplique as regras usuais de diferenciação em
(linearidade, regra do produto quando necessário, regra da cadeia, derivada de
, etc.).
Passo 3
Usar linearidade da derivada: a derivada parcial de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas parciais dos termos. Então
Passo 4
Calcular a derivada do primeiro termo
.
- Observação:
depende só de , portanto é constante em relação a . - Aplicando a propriedade “constante vezes a função”: se
é constante então . - Podemos também escrever pelo produto para ficar claro:
Aqui
e
(porque
é constante em
). Logo
Passo 5
Calcular a derivada do segundo termo
.
- Observação:
é constante em relação a , então é fator constante. - Regra usada: a derivada de
em relação a é (essa é uma regra básica: a derivada do logaritmo natural é o inverso da variável). - Aplicando constante vezes função:
Como o termo original é com sinal negativo, sua contribuição é
.
Passo 6
Juntando as duas derivações (Passos 4 e 5) pelo passo 3:
válido para
.
Passo 7
Um reforço rápido com um exemplo parecido para fixar:
Se , então tratando
como constante,
Se
Note como em ambos os exemplos se manteve
como fator constante onde aparece, e se usou
.