Calcule cada derivada parcial tratando, com exceção de uma, as variáveis independentes como constantes e aplicando as regras de diferenciação.
D_{x}(x \sin (y)-y \ln (x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial em relação a x da função
f(x,y)=x\sin(y)-y\ln(x).
Informações dadas e observações importantes:
  • A variável em que devemos derivar é x.
  • A variável y deve ser tratada como constante durante a diferenciação.
  • A função contém dois termos: x\sin(y) e -y\ln(x).
  • Domínio natural onde a expressão está definida: x>0 (porque \ln(x) exige x>0).
  • O que se pede: calcular D_{x}\bigl(x\sin(y)-y\ln(x)\bigr), isto é, \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin(y)-y\ln(x)\bigr).

Passo 2

Lembrete didático sobre derivada parcial: a derivada parcial de f(x,y) em relação a x é a derivada da função obtida mantendo y fixo. Em notação:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para problemas de prova, isso significa: trate y como uma constante e aplique as regras usuais de diferenciação em x (linearidade, regra do produto quando necessário, regra da cadeia, derivada de \ln, etc.).

Passo 3

Usar linearidade da derivada: a derivada parcial de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas parciais dos termos. Então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin(y)-y\ln(x)\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin(y)\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\ln(x)\bigr).

Passo 4

Calcular a derivada do primeiro termo \;x\sin(y).
  • Observação: \sin(y) depende só de y, portanto é constante em relação a x.
  • Aplicando a propriedade “constante vezes a função”: se c é constante então \dfrac{d}{dx}(c\cdot x)=c.
  • Podemos também escrever pelo produto para ficar claro:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin(y)\bigr) = \bigl(\frac{\partial}{\partial x}x\bigr)\sin(y)+x\bigl(\frac{\partial}{\partial x}\sin(y)\bigr).
Aqui \dfrac{\partial}{\partial x}x=1 e \dfrac{\partial}{\partial x}\sin(y)=0 (porque \sin(y) é constante em x). Logo
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin(y)\bigr)=1\cdot\sin(y)+x\cdot 0=\sin(y).

Passo 5

Calcular a derivada do segundo termo \;y\ln(x).
  • Observação: y é constante em relação a x, então é fator constante.
  • Regra usada: a derivada de \ln(x) em relação a x é \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} (essa é uma regra básica: a derivada do logaritmo natural é o inverso da variável).
  • Aplicando constante vezes função:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\ln(x)\bigr)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\ln(x)=y\cdot\frac{1}{x}=\frac{y}{x}.
Como o termo original é com sinal negativo, sua contribuição é -\dfrac{y}{x}.

Passo 6

Juntando as duas derivações (Passos 4 e 5) pelo passo 3:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin(y)-y\ln(x)\bigr)=\sin(y)-\frac{y}{x},
válido para x>0.

Passo 7

Um reforço rápido com um exemplo parecido para fixar:
Se g(x,y)=x^2\sin(y)-y\ln(x), então tratando y como constante,
\frac{\partial g}{\partial x}=2x\sin(y)-\frac{y}{x}.
Note como em ambos os exemplos se manteve y como fator constante onde aparece, e se usou \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.

Resposta

\sin(y)-\dfrac{y}{x}

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