Calcule cada expressão.
g) 27^{-\frac{4}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \,27^{-\frac{4}{3}}\,. As informações dadas são: a base é \,27\, e o expoente é \,-\frac{4}{3}.

Passo 2

Primeiro conceito importante: a regra do expoente negativo. Para qualquer número a não nulo e qualquer expoente b,
a^{-b} = \frac{1}{a^{b}}.
Aplicando isso à nossa expressão obtemos
27^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{4}{3}}}.

Passo 3

Agora o conceito do expoente fracionário. Para a>0 e inteiros m, n>0,
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = \big(\sqrt[n]{a}\big)^{m}.
Isso significa que \,27^{\frac{4}{3}}\, pode ser visto como \big(\sqrt[3]{27}\big)^{4} ou como \sqrt[3]{27^{4}}. Vou usar a forma \big(\sqrt[3]{27}\big)^{4} porque a raiz cúbica de 27 é simples.

Passo 4

Calcule a raiz cúbica de 27. Sabemos que
3^{3}=27,
logo
\sqrt[3]{27}=3.
Portanto
27^{\frac{4}{3}} = \big(\sqrt[3]{27}\big)^{4} = 3^{4}.

Passo 5

Calcule 3^{4}. Podemos fazer passo a passo:
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81.
Logo 27^{\frac{4}{3}} = 81.

Passo 6

Voltando ao passo do expoente negativo (veja Passo 2), temos
27^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{81}.
Como checagem alternativa rápida: escrever 27=(3^{3}) (3^{3})^{-\frac{4}{3}} = 3^{3\cdot(-4/3)} = 3^{-4} = \frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81}, mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{81}

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