Simplifique a expressão e elimine os expoentes negativos. Assuma que todas as letras denotam números positivos.
h) \sqrt{4 s t^{3}} \sqrt[6]{s^{3} t^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão e eliminar expoentes negativos (se houver). A expressão dada é \sqrt{4 s t^{3}} \sqrt[6]{s^{3} t^{2}}. Informação importante: o enunciado diz para assumirmos que todas as letras denotam números positivos — isso permite tratar raízes e potências sem nos preocupar com valores absolutos.

Passo 2

Transformar radicais em potências fracionárias para trabalhar com expoentes de forma direta. Regra usada: a raiz n-ésima de a^{m} é a^{m/n}, isto é,
\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}.
Aplicando a regra às duas raízes:
\sqrt{4 s t^{3}} = (4 s t^{3})^{1/2},
\sqrt[6]{s^{3} t^{2}} = (s^{3} t^{2})^{1/6}.

Passo 3

Distribuir os expoentes fracionários sobre os fatores (regra: (ab)^{r}=a^{r}b^{r}). Assim:
(4 s t^{3})^{1/2} = 4^{1/2}\, s^{1/2}\, t^{3/2},
(s^{3} t^{2})^{1/6} = s^{3/6}\, t^{2/6}.
Simplificando os expoentes racionais em s e t no segundo fator:
s^{3/6} = s^{1/2},\qquad t^{2/6} = t^{1/3}.

Passo 4

Multiplicar os dois fatores agora em forma de potências. Usamos a regra de produtos de potências com mesma base: a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
Multiplicando:
4^{1/2}\, s^{1/2}\, t^{3/2}\\ \cdot\\ s^{1/2}\, t^{1/3} = 4^{1/2}\, s^{1/2+1/2}\, t^{3/2+1/3}.
Calcular os somatórios de expoentes:
s^{1/2+1/2}=s^{1},
3/2 + 1/3 = \frac{9}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6},
então
t^{3/2+1/3}=t^{11/6}.
Além disso 4^{1/2}=\sqrt{4}=2. Assim obtemos
2\, s\, t^{11/6}.
Lembrete: usamos a hipótese de que s>0 e t>0 para não precisar colocar valor absoluto em \sqrt{s}.

Passo 5

Opcional — escrever a potência fracionária t^{11/6} como parte inteira vezes uma raiz. Decomponha o expoente:
\frac{11}{6}=1+\frac{5}{6},
logo
t^{11/6}=t^{1}\, t^{5/6}=t\, \sqrt[6]{t^{5}}.
Portanto a forma com radical é
2\, s\, t\, \sqrt[6]{t^{5}}.

Resposta

2 s t \sqrt[6]{t^{5}}

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