Simplifique a expressão.
a) \sqrt{32}+\sqrt{18}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \sqrt{32}+\sqrt{18}.
Informações dadas: os dois termos são raízes quadradas de números inteiros positivos, ou seja, podemos tentar escrever cada raiz como um número inteiro vezes uma raiz que não aceita mais fator quadrado óbvio.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: a propriedade de produto dentro da raiz. Para quaisquer números não negativos a e b vale
\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.
Isso permite tirar fatores quadrados perfeitos de dentro da raiz. Um “quadrado perfeito” é um número da forma k^2 (por exemplo 1,4,9,16,\dots). Se um número n pode ser escrito como n=k^2\cdot r com r inteiro e sem quadrado perfeito maior que 1 dividindo r, então
\sqrt{n}=\sqrt{k^2\cdot r}=\sqrt{k^2}\sqrt{r}=k\sqrt{r}.
Exemplo rápido (fora do problema): \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}.

Passo 3

Aplicando isso a \sqrt{32}. Primeiro fatoramos 32 buscando o maior quadrado perfeito que divide 32. Como 16=4^2 divide 32, escrevemos
32=16\cdot 2.
Agora usamos a propriedade:
\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=\sqrt{16}\,\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
Expliquei cada passo: separei 32 em 16 (quadrado perfeito) vezes 2, tirei \sqrt{16}=4 para fora.

Passo 4

Agora \sqrt{18}. Procuramos o maior quadrado perfeito que divide 18. Como 9=3^2 divide 18, escrevemos
18=9\cdot2.
Então
\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=\sqrt{9}\,\sqrt{2}=3\sqrt{2}.

Passo 5

Somamos os dois resultados. Vimos que
\sqrt{32}=4\sqrt{2}\quad\text{e}\quad \sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Quando temos termos do tipo a\sqrt{c}+b\sqrt{c}, eles são “semelhantes” e podem ser somados como números comuns em frente da raiz:
a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}.
Aplicando aqui:
4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(4+3)\sqrt{2}=7\sqrt{2}.

Passo 6

Verificação final: o radicando 2 não tem nenhum quadrado perfeito maior que 1 dividindo-o, então \,7\sqrt{2} está na forma simplificada.

Resposta

\,7\sqrt{2}

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