Calcule cada expressão, usando as funções f e h definidas por:
f(x, y)=5 x^{2}+7 x y \quad h(x, y)=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}
h(5,5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da função h no ponto (5,5). As informações que temos são:
  • A função h é dada por
h(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}.
  • Devemos avaliar h em x=5 e y=5, ou seja, encontrar h(5,5).

Passo 2

Primeiro passo prático: substituir x=5 e y=5 na expressão de h(x,y). Fazendo a substituição obtemos:
h(5,5)=\frac{2\cdot 5\cdot 5}{5^{2}+5^{2}}.

Passo 3

Calcular o numerador. Multiplicando os fatores no numerador:
2\cdot 5\cdot 5 = 2\cdot 25 = 50.
Portanto o numerador vale 50.

Passo 4

Calcular o denominador. Elevando ao quadrado e somando:
5^{2}+5^{2}=25+25=50.
Portanto o denominador vale 50.

Passo 5

Substituindo os valores do numerador e denominador na fração:
h(5,5)=\frac{50}{50}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 50):
\frac{50}{50}=1.

Passo 6

Comentário didático e observações úteis para a prova:
  • Antes de avaliar sempre verifique o domínio da função: aqui o denominador é x^{2}+y^{2}, que é zero somente quando x=0 e y=0 simultaneamente. Como (5,5) não é (0,0), a avaliação é válida.
  • Uma observação geral: se x=y\neq 0, então
h(x,x)=\frac{2x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{2x^{2}}{2x^{2}}=1.
Isso explica por que h(5,5)=1 de forma mais geral.
  • Se precisar fazer isso rápido na prova: substitua, calcule numerador e denominador separadamente, e simplifique. Sempre olhar se dá cancelamento direto (aqui deu).

Resposta

1

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