Calcule os limites e justifique cada passo indicando as leis dos limites apropriadas.
\quad \lim _{x \rightarrow 8}(1+\sqrt[3]{x})\left(2-6 x^{2}+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 8}\bigl(1+\sqrt[3]{x}\bigr)\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr).
Informações dadas:
  • A expressão é produto de dois fatores: 1+\sqrt[3]{x} e 2-6x^{2}+x^{3}.
  • O ponto de interesse é x\to8.

Passo 2

Regra que vamos usar (lei dos limites para produto): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem (são finitos), então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=\left(\lim_{x\to a} f(x)\right)\left(\lim_{x\to a} g(x)\right)=LM.
Portanto basta calcular separadamente \lim_{x\to8}\bigl(1+\sqrt[3]{x}\bigr) e \lim_{x\to8}\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr).

Passo 3

Calcular \lim_{x\to8}\bigl(1+\sqrt[3]{x}\bigr).
Lei dos limites para soma: se \lim_{x\to a} u(x)=U e \lim_{x\to a} v(x)=V existem, então
\lim_{x\to a}\bigl(u(x)+v(x)\bigr)=U+V.
Aplicando com u(x)=1 (constante) e v(x)=\sqrt[3]{x}:
  • Para a constante vale \lim_{x\to8}1=1.
  • A função x\mapsto\sqrt[3]{x} é contínua em todo \mathbb{R}, então vale a propriedade de continuidade/composição: \lim_{x\to8}\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{8}=2.
Pelo somatório:
\lim_{x\to8}\bigl(1+\sqrt[3]{x}\bigr)=1+2=3.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to8}\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr).
Usamos as leis dos limites para soma/diferença e para constantes: se \lim_{x\to a} x^{n}=a^{n} (propriedade de potências para n natural) e \lim_{x\to a} c\cdot h(x)=c\cdot\lim_{x\to a} h(x) para constante c, então
\lim_{x\to8}\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr)=2-6\lim_{x\to8}x^{2}+\lim_{x\to8}x^{3}.
Calcule os limites das potências:
\lim_{x\to8}x^{2}=8^{2}=64,\qquad \lim_{x\to8}x^{3}=8^{3}=512.
Substituindo:
\lim_{x\to8}\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr)=2-6\cdot64+512.
Faça as contas (passo a passo): 6\cdot64=384. Então 2-384=-382. Agora -382+512=130. Logo
\lim_{x\to8}\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr)=130.

Passo 5

Agora aplicamos a lei do produto (Passo 2): como os limites dos dois fatores existem e valem 3 e 130, respectivamente, temos
\lim_{x\to8}\bigl(1+\sqrt[3]{x}\bigr)\bigl(2-6x^{2}+x^{3}\bigr)=3\cdot130.
Multiplicando: 3\cdot130=390.

Resposta

390

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