Calcule os limites e justifique cada passo indicando as leis dos limites apropriadas.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é produto de dois fatores:
e . - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Regra que vamos usar (lei dos limites para produto): se
e
existem (são finitos), então
Portanto basta calcular separadamente
e
.
Passo 3
Calcular
.
Lei dos limites para soma: se
e
existem, então
Aplicando com
(constante) e
:
- Para a constante vale
. - A função
é contínua em todo , então vale a propriedade de continuidade/composição: .
Pelo somatório:
Passo 4
Calcular
.
Usamos as leis dos limites para soma/diferença e para constantes: se
(propriedade de potências para
natural) e
para constante
, então
Calcule os limites das potências:
Substituindo:
Faça as contas (passo a passo):
. Então
. Agora
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos a lei do produto (Passo 2): como os limites dos dois fatores existem e valem
e
, respectivamente, temos
Multiplicando:
.